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Théorème des fonctions implicites

Théorème $ f$ application $ C^1$ de $ U$ un ouvert de $ E_1 \times E_2$ dans $ F$, avec $ E_1$, $ E_2$ et $ F$ des Banach. Si $ f$ est différentiable par rapport à la deuxième variable en $ (a,b)$ et si cette différentielle est un isomorphisme alors il existe $ \phi$ $ C^1$ définie sur un ouvert $ U_1$ de $ E_1$ contenant $ a_1$ et à valeurs dans un ouvert $ U_2$ de $ E_2$ contenant $ a_2$ telle que pour tout $ (y_1,y_2)$ dans $ U_1 \times U_2$ on ait

$\displaystyle f(y_1,y_2)=f(a,b) \iff y_2=\phi(y_1)$

et pour tout $ x$ dans $ U_1$ on a

$\displaystyle D\phi(x)=-[D_2f(x,\phi(x))]^{-1}\circ D_1f(x,\phi(x))$

Application(s)... FLEMMARD

Démonstration: $ \bullet\ $On va chercher à utiliser le théorème d'inversion locale. Pour cela il faut construire une application différentiable $ C^1$, de différentielle bijective.

$ \bullet\ $On définit l'application $ \mu$ de $ U$ dans $ E_1 \times E_2$ dans $ E_1 \times G$, définie par $ \mu(y_1,y_2)=(y_1,f(y_1,y_2))$.

$ \bullet\ $ $ D\mu(a,b)(h,k)=(h,D_1f(a,b).h+D_2f(a,b).k)$

$ \bullet\ $$ D\mu(a,b)$ est bijective (facile), $ \mu$ est $ C^1$

$ \bullet\ $On applique le théorème d'inversion locale à $ \mu$ en $ (a,b)$.

$ \bullet\ $La fonction réciproque associe clairement à un couple $ (q,r)$ un couple $ (q,\phi(q,r))$, et en fixant $ r$ on en déduit ce que l'on veut...$ \sqcap$$ \sqcup$

La figure [*] illustre ce théorème.

Figure: Illustration du théorème des fonctions implicites dans le cas d'une fonction de $ \mathbb{R}^2$ dans $ \mathbb{R}$. La courbe est une courbe de niveau. A gauche la différentielle par rapport à $ y$ n'est pas un isomorphisme; on comprend intuitivement qu'on ne peut pas donner $ y$ en fonction de $ x$ sur un voisinage. A droite c'est un isomorphisme; donc on peut.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{implic.eps}\end{displaymath}\end{figure}


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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