Théorème application de un ouvert de
dans , avec , et des Banach. Si est différentiable par rapport à la deuxième variable en et si cette différentielle est un isomorphisme alors il existe définie sur un ouvert de contenant et à valeurs dans un ouvert de contenant telle que pour tout dans
on ait
et pour tout dans on a
FLEMMARD
Démonstration:On va chercher à utiliser le théorème d'inversion locale. Pour cela il faut construire une application différentiable , de différentielle bijective.
On définit l'application de dans
dans
, définie par
.
est bijective (facile), est
On applique le théorème d'inversion locale à en .
La fonction réciproque associe clairement à un couple un
couple
, et en fixant on en déduit ce que l'on
veut...
La figure illustre ce théorème.
Figure:
Illustration du théorème des fonctions implicites dans le cas d'une fonction de
dans
. La courbe est une courbe de niveau. A gauche la différentielle par rapport à n'est pas un isomorphisme; on comprend intuitivement qu'on ne peut pas donner en fonction de sur un voisinage. A droite c'est un isomorphisme; donc on peut.
application 
de 
un ouvert de
dans 
, avec 
, 
et 
et si cette différentielle est un isomorphisme alors il existe 
de 
et à valeurs dans un ouvert 
de 
telle que pour tout 
dans
on ait
dans ![$\displaystyle D\phi(x)=-[D_2f(x,\phi(x))]^{-1}\circ D_1f(x,\phi(x))$](/a/a/f/img296.png){kind=small}
FLEMMARD
On va chercher à utiliser le théorème d'inversion locale
de 
, définie par
.
est bijective (facile), 
un
couple
, et en fixant 
on en déduit ce que l'on
veut...
![[*]](/images/crossref.png)
dans
. La courbe est une courbe de niveau. A gauche la différentielle par rapport à 
n'est pas un isomorphisme; on comprend intuitivement qu'on ne peut pas donner 
