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Généralités

Définition Etant donnée une application $ f$ d'un ouvert $ U$ d'un espace de Banach $ E$ dans un espace de Banach $ F$, on dit que $ f$ est de classe $ C^n$ (on dit aussi $ n$ fois continûment différentiable) si $ f$ est différentiable et si sa différentielle est de classe $ C^{n-1}$. L'application est dite $ C^{\infty}$ si elle est $ C^n$ pour tout $ n$; on dit alors qu'elle est indéfiniment différentiable.
On note alors $ f^{(1)}(a)$ l'application $ Df(a)(x)$, et par récurrence $ f^{(n)}(a)$ l'application $ Df^{(n-1)}(a)$.
Etant donnée une application $ f$ d'un ouvert $ U$ d'un espace de Banach $ E$ dans un espace de Banach $ F$, on dit que $ f$ est $ n$ fois différentiable en $ x$ appartenant à $ U$ si et seulement si $ f$ est de classe $ C^{n-1}$ sur un voisinage de $ x$ et si la $ n$-ième différentielle de $ f$ sur ce voisinage est différentiable en $ a$.
Etant donnée $ f$ application d'un ouvert $ U$ d'un espace de Banach $ E$ dans un espace de Banach $ F$, on note $ \frac{\partial ^2f}{\partial x_i\partial x_j}$ l'application $ \frac{\partial \frac{\partial f}{\partial x_j}}{\partial x_i}$.



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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