Définition
Etant donnée une application d'un ouvert d'un espace de Banach dans un espace de Banach , on dit que est de classe (on dit aussi fois continûment différentiable) si est différentiable et si sa différentielle est de classe . L'application est dite si elle est pour tout ; on dit alors qu'elle est indéfiniment différentiable.
On note alors l'application , et par récurrence l'application
.
Etant donnée une application d'un ouvert d'un espace de Banach dans un espace de Banach , on dit que est fois différentiable en appartenant à si et seulement si est de classe sur un voisinage de et si la -ième différentielle de sur ce voisinage est différentiable en .
Etant donnée application d'un ouvert d'un espace de Banach dans un espace de Banach , on note
l'application
.
d'un ouvert 
d'un espace de Banach 
dans un espace de Banach 
, on dit que 
fois continûment différentiable) si 
. L'application est dite
si elle est 
l'application 
, et par récurrence
l'application
.
appartenant à 
.
l'application
.
