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E. Cartan

Les maths pour l'agreg

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Dérivées secondes

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Dérivées secondes

Théorème Soit

une application de

, ouvert d'un espace de Banach

, dans

, espace de Banach . Si

est deux fois différentiable

, alors

. Via l'identification du théorème

est une forme bilinéaire symétrique

. Démonstration: $\bullet\$ Il s'agit donc de montrer que

$\bullet\$ On introduit la fonction $\mu(h,k)=f(a+h+k)-f(a+h)-f(a+k)+f(a)$

$\bullet\$ $\mu(h,k)=\mu(k,h)$ clairement

$\bullet\$ On montre maintenant que $\mu(h,k)$ approxime (on pourra plus loin en déduire le résultat souhaité, car approximera alors )

$\bullet\$ ${\parallel}\mu(h,k)-f''(a)(h)(k) {\parallel}\leq {\parallel}\mu(h,k)-f'(a+k)(h)+f'(a)(h) {\parallel}+ {\parallel}f'(a+k)(h)-f'(a)(h)-(f''(a).k).h {\parallel}$

$\bullet\$ Le second terme est petit par la définition de la différentielle , le premier est petit par définition de la différentielle de , et par utilisation des accroissements finis.

$\bullet\$ On arrive ainsi à montrer que $\mu(h,k)-f''(a)(k)(h)$ est un $o({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ ; par symétrie on a aussi le fait que $\mu(h,k)-f''(a)(k)(h)$ est un $o({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ ; on en déduit ${\parallel}f''(a)(k)(h)-f''(a)(h)(k) {\parallel}= o( {\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ .

$\bullet\$ ${\parallel}f''(a)({\lambda}.k)({\lambda}.h)-f''(a)({\lambda}.h)({\lambda}.k) {... ...n . ({\parallel}{\lambda}.h {\parallel}^2+{\parallel}{\lambda}.k {\parallel}^2)$ pour tout $\epsilon$ , pour ${\lambda}$ suffisamment petit

$\bullet\$ ${\lambda}^2 {\parallel}f''(a)(k)(h)-f''(a)(h)(k) {\parallel}\leq \epsilon .{\lambda}^2 ({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ pour tout $\epsilon$ et pour ${\lambda}$ assez petit

$\bullet\$ ${\parallel}f''(a)(k)(h)-f''(a)(h)(k) {\parallel}\leq \epsilon ({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ pour tout $\epsilon$ !

$\bullet\$ d'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Soit deux fois différentiables en $a\in U$ , avec définie de ouvert de $E=E_1 \times E_2 ... \times E_n$ (des espaces de Banach ) dans (un espace de Banach ). Alors

$\displaystyle (f''(a)(h_1,...,h_n))(k_1,...,k_n)=\sum_{i,j} (\frac{\partial ^2f}{\partial x_i \partial x_j}(a).h_i).k_j$

Démonstration: On utilise simplement deux fois la proposition

, à

. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Soit deux fois différentiables en $a\in U$ , avec définie de ouvert de $E=E_1 \times E_2 ... \times E_n$ (des espaces de Banach ) dans (un espace de Banach ). Alors

$\displaystyle \frac{\partial ^2f}{\partial x_i \partial x_j}(a)(h)(k)=\frac{\partial ^2f}{\partial x_j \partial x_i}(a)(k)(h)$

Démonstration: Il s'agit simplement du théorème après quelques manipulations... $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Théorème de Schwartz] Soit application de $\mathbb{R}^n$ dans ( espace de Banach ) deux fois différentiables en , alors $\frac{\partial ^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)=\frac{d^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$

Démonstration: Il s'agit d'une reformulation dans le cas de $E_i=\mathbb{R}$ du corollaire précédent! $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition [Existence de la dérivée seconde] Soi une application de ouvert de $E=E_1 \times E_2 ... \times E_n$ (des espaces de Banach ) dans (un espace de Banach ). Alors si les $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ existent et sont continues sur un voisinage de , et si les $\frac{\partial ^2f}{\partial x_i\partial x_j}$ existent sur un voisinage de et sont continues en , alors est deux fois différentiable en .