Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
180 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Dérivées secondes next up previous index
suivant: Généralisations à la dérivée monter: Dérivées d'ordre supérieur précédent: Généralités   Index

Dérivées secondes

Théorème Soit $ f$ une application de $ U$, ouvert d'un espace de Banach , dans $ F$, espace de Banach . Si $ f$ est deux fois différentiable en $ x_0$, alors $ f''(a)(h)(k)=f''(a)(k)(h)$. Via l'identification du théorème [*] $ f''(a)$ est une forme bilinéaire symétrique. Démonstration: $ \bullet\ $Il s'agit donc de montrer que $ f''(a)(h)(k)=f''(a)(k)(h)$.

$ \bullet\ $On introduit la fonction $ \mu(h,k)=f(a+h+k)-f(a+h)-f(a+k)+f(a)$

$ \bullet\ $ $ \mu(h,k)=\mu(k,h)$ clairement

$ \bullet\ $On montre maintenant que $ \mu(h,k)$ approxime $ f''(a)(h)(k)$ (on pourra plus loin en déduire le résultat souhaité, car $ f''(a)(h)(k)$ approximera alors $ f''(a)(k)(h)$)

$ \bullet\ $ $ {\parallel}\mu(h,k)-f''(a)(h)(k) {\parallel}\leq
{\parallel}\mu(h,k)-f'(a+k)(h)+f'(a)(h) {\parallel}+ {\parallel}f'(a+k)(h)-f'(a)(h)-(f''(a).k).h {\parallel}$

$ \bullet\ $Le second terme est petit par la définition de la différentielle $ f''(a)$, le premier est petit par définition de la différentielle de $ f'(a)$, et par utilisation des accroissements finis.

$ \bullet\ $On arrive ainsi à montrer que $ \mu(h,k)-f''(a)(k)(h)$ est un $ o({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$; par symétrie on a aussi le fait que $ \mu(h,k)-f''(a)(k)(h)$ est un $ o({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$; on en déduit $ {\parallel}f''(a)(k)(h)-f''(a)(h)(k) {\parallel}= o( {\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$.

$ \bullet\ $ $ {\parallel}f''(a)({\lambda}.k)({\lambda}.h)-f''(a)({\lambda}.h)({\lambda}.k) {...
...n . ({\parallel}{\lambda}.h {\parallel}^2+{\parallel}{\lambda}.k {\parallel}^2)$ pour tout $ \epsilon $, pour $ {\lambda}$ suffisamment petit

$ \bullet\ $ $ {\lambda}^2 {\parallel}f''(a)(k)(h)-f''(a)(h)(k) {\parallel}\leq \epsilon .{\lambda}^2 ({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ pour tout $ \epsilon $ et pour $ {\lambda}$ assez petit

$ \bullet\ $ $ {\parallel}f''(a)(k)(h)-f''(a)(h)(k) {\parallel}\leq \epsilon ({\parallel}h {\parallel}^2 + {\parallel}k {\parallel}^2)$ pour tout $ \epsilon $ !

$ \bullet\ $ $ f''(a)(k)(h)=f''(a)(h)(k)=0$ d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Soit $ f$ deux fois différentiables en $ a\in U$, avec $ f$ définie de $ U$ ouvert de $ E=E_1 \times E_2 ... \times E_n$ (des espaces de Banach ) dans $ F$ (un espace de Banach ). Alors

$\displaystyle (f''(a)(h_1,...,h_n))(k_1,...,k_n)=\sum_{i,j} (\frac{\partial ^2f}{\partial x_i \partial x_j}(a).h_i).k_j$

Démonstration: On utilise simplement deux fois la proposition [*], à $ f$ et $ f'$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ f$ deux fois différentiables en $ a\in U$, avec $ f$ définie de $ U$ ouvert de $ E=E_1 \times E_2 ... \times E_n$ (des espaces de Banach ) dans $ F$ (un espace de Banach ). Alors

$\displaystyle \frac{\partial ^2f}{\partial x_i \partial x_j}(a)(h)(k)=\frac{\partial ^2f}{\partial x_j \partial x_i}(a)(k)(h)$

Démonstration: Il s'agit simplement du théorème [*] après quelques manipulations...$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Théorème de Schwartz] Soit $ f$ application de $ \mathbb{R}^n$ dans $ F$ ($ F$ espace de Banach ) deux fois différentiables en $ x$, alors $ \frac{\partial ^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)=\frac{d^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$

Démonstration: Il s'agit d'une reformulation dans le cas de $ E_i=\mathbb{R}$ du corollaire précédent!$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Existence de la dérivée seconde] Soi $ f$ une application de $ U$ ouvert de $ E=E_1 \times E_2 ... \times E_n$ (des espaces de Banach ) dans $ F$ (un espace de Banach ). Alors si les $ \frac{\partial f}{\partial x_i}$ existent et sont continues sur un voisinage de $ x$, et si les $ \frac{\partial ^2f}{\partial x_i\partial x_j}$ existent sur un voisinage de $ x$ et sont continues en $ x$, alors $ f$ est deux fois différentiable en $ x$.

Démonstration: Il suffit d'appliquer deux fois la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Généralisations à la dérivée monter: Dérivées d'ordre supérieur précédent: Généralités   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page