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Généralisations à la dérivée $ n$-ième

On pourra réviser la partie [*].

Théorème [Généralisation du théorème [*]] Si $ f$ est une application de $ E$ dans $ F$ avec $ E$ et $ F$ des espaces de Banach $ n$ fois différentiable en $ x$, alors $ f^{(n)}(x)$ appartient à $ {\cal L}_n(E;F)$ et est une application $ n$-linéaire symétrique. Démonstration: On procède par récurrence. Pour $ n=1$, c'est clair. Pour $ n=2$, c'est le théorème [*]. Supposons maintenant le résultat prouvé jusqu'au rang $ n-1$, et montrons le pour le rang $ n$, avec $ n\geq 3$.
$ \bullet\ $Il suffit de montrer que si l'on permute deux variables consécutives parmi les $ h_i$ on ne change pas la valeur $ f^{(n)}(x)(h_1,...,h_n)$.
$ \bullet\ $$ f^{(n-1)}$ est symétrique, donc on peut permuter sans rien changer $ h_i$ et $ h_{i+1}$ pour $ i>1$
$ \bullet\ $Pour $ i=1$ il suffit de rappeler que $ f^{(n)}=(f^{(n-2)})''$ et d'utiliser [*].$ \sqcap$$ \sqcup$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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