Théorème [Généralisation du théorème ]
Si est une application de dans avec et des espaces de Banach fois différentiable en , alors
appartient à
et est une application -linéaire symétrique.
Démonstration:On procède par récurrence. Pour , c'est clair. Pour , c'est le théorème
. Supposons maintenant le résultat prouvé jusqu'au rang , et montrons le pour le rang , avec .
Il suffit de montrer que si l'on permute deux variables consécutives parmi les on ne change pas la valeur
.
est symétrique, donc on peut permuter sans rien changer et pour Pour il suffit de rappeler que
et d'utiliser .