Généralisations à la dérivée -ième

On pourra réviser la partie .

Théorème [Généralisation du théorème ] Si est une application de dans avec et des espaces de Banach fois différentiable en , alors appartient à et est une application -linéaire symétrique. Démonstration: On procède par récurrence. Pour , c'est clair. Pour , c'est le théorème . Supposons maintenant le résultat prouvé jusqu'au rang , et montrons le pour le rang , avec .
Il suffit de montrer que si l'on permute deux variables consécutives parmi les on ne change pas la valeur .
est symétrique, donc on peut permuter sans rien changer et pour
Pour il suffit de rappeler que et d'utiliser .