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Fonctions convexes

Définition Une fonction $ f$ définie sur un convexe $ U$ d'un espace vectoriel à valeurs dans $ \mathbb{R}$ est dite convexe (resp. strictement convexe) si

$\displaystyle \forall (u,v,t)\in U^2\times[0,1] f(tu+(1-t)v)\leq tf(u)+(1-t)f(v)$

(resp.)$\displaystyle \forall (u,v,t)\in U^2\times]0,1[ u\neq v \Rightarrow f(tu+(1-t)v) < tf(u)+(1-t)f(v)$

Dans la suite de cette section, on suppose que $ U$ est un convexe d'un espace vectoriel , et que $ f$ est une application de $ \Omega$ dans $ \mathbb{R}$, avec $ \Omega$ ouvert contenant $ U$. Les liens entre dérivabilité et convexité sont les suivants:

Théorème $ f$ $ C^1$ est convexe (resp. strictement convexe) sur $ U$ si et seulement si

$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 f(v) \geq f(u)+f'(u)(v-u)$

(resp.)$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 u \not = v \Rightarrow f(v) > f(u)+f'(u)(v-u)$

$ f$ $ C^2$ est convexe si et seulement si

$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 f'(u)(v-u,v-u) \geq 0$

Si

$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 u\neq v \Rightarrow f''(u)(v-u,v-u)>0$

Application(s)... On pourra voir [*] pour les applications de la convexité à la recherche d'extréma, [*] pour les applications de l'inégalité de Jensen, le lemme [*] (et par suite l'inégalité de Hölder), l'inégalité de Minkovski.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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