Définition
Une fonction définie sur un convexe d'un espace vectoriel à valeurs dans
est dite convexe (resp. strictement convexe) si
(resp.)
Dans la suite de cette section, on suppose que est un convexe d'un espace vectoriel , et que est une application de dans
, avec ouvert contenant .
Les liens entre dérivabilité et convexité sont les suivants:
Théorème est convexe (resp. strictement convexe) sur si et seulement si
(resp.)
est convexe si et seulement si
Si
On pourra voir pour les applications de la convexité à la recherche d'extréma, pour les applications de l'inégalité de Jensen, le lemme (et par suite l'inégalité de Hölder), l'inégalité de Minkovski.