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Fonctions convexes

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Fonctions convexes

Définition Une fonction définie sur un convexe d'un espace vectoriel à valeurs dans $\mathbb{R}$ est dite convexe (resp. strictement convexe) si

$\displaystyle \forall (u,v,t)\in U^2\times[0,1] f(tu+(1-t)v)\leq tf(u)+(1-t)f(v)$

(resp.) $\displaystyle \forall (u,v,t)\in U^2\times]0,1[ u\neq v \Rightarrow f(tu+(1-t)v) < tf(u)+(1-t)f(v)$

Dans la suite de cette section, on suppose que est un convexe d'un espace vectoriel , et que est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ , avec $\Omega$ ouvert contenant . Les liens entre dérivabilité et convexité sont les suivants:

Théorème est convexe (resp. strictement convexe) sur si et seulement si

$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 f(v) \geq f(u)+f'(u)(v-u)$

(resp.) $\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 u \not = v \Rightarrow f(v) > f(u)+f'(u)(v-u)$

est convexe si et seulement si

$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 f'(u)(v-u,v-u) \geq 0$

$\displaystyle \forall (u,v) \in U^2 u\neq v \Rightarrow f''(u)(v-u,v-u)>0$

On pourra voir pour les applications de la convexité à la recherche d'extréma, pour les applications de l'inégalité de Jensen, le lemme (et par suite l'inégalité de Hölder), l'inégalité de Minkovski.