Cet exemple, élaboré par Van der Waerden, est extrait du livre [20].
Théorème
Soit la fonction définie sur
par
(c'est à dire que est la distance de à l'entier le plus proche de ).
La fonction définie sur
par
est continue partout dérivable nulle part.
Démonstration:
Bonne définition, continuité de : facile, est limite uniforme d'une suite de fonctions continues (voir proposition ).
La non dérivabilité, c'est plus dur.
- , et donc , est périodique, de période .
- On se limite donc à montrer la non-dérivabilité sur
- On note les développements décimaux en excluant les développements illimités ne comportant que des 1.1
- Soit donc
, on montre la non-dérivabilité de en .
- Soit la -ième décimale de .
- définissons
si ou ,
sinon.
- Calculons maintenant
- Raisonnons un petit peu maintenant, sur un cas particulier pour mieux visualiser (
):
Il faut bien noter que dans le cas général le chiffre de la dernière colonne peut être ou ; quoi qu'il en soit
est un entier de parité variant avec et ne peut donc pas converger.
On en profite pour montrer ce dont est capable Maple. Le dessin se trouve en figure .
Exemple Maple
Figure:
Tracé d'une courbe continue dérivable nulle part, établie par Van der Waerden
la fonction définie sur
par
(c'est à dire que 
est la distance de 
à l'entier le plus proche de 
définie sur
est continue
Bonne définition, continuité de ![[*]](/images/crossref.png)
.
, on montre la non-dérivabilité de 
la 
-ième décimale de 
si 
ou 
,
sinon.
):
; quoi qu'il en soit
est un entier de parité variant avec 
et ne peut donc pas converger.
par
.
