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Fonction continue partout dérivable nulle part

Cet exemple, élaboré par Van der Waerden, est extrait du livre [20].

Théorème Soit $ T$ la fonction définie sur $ \mathbb{R}$ par $ T(x)=min(x-E(x),E(x)+1-x)$ (c'est à dire que $ T(x)$ est la distance de $ x$ à l'entier le plus proche de $ x$).

La fonction $ f$ définie sur $ \mathbb{R}$ par $ f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{T(10^n x)}{10^n}$ est continue partout dérivable nulle part. Démonstration:

$ \bullet\ $Bonne définition, continuité de $ f$: facile, $ f$ est limite uniforme d'une suite de fonctions continues (voir proposition [*]).

$ \bullet\ $La non dérivabilité, c'est plus dur.

- $ T$, et donc $ f$, est périodique, de période $ 1$.

- On se limite donc à montrer la non-dérivabilité sur $ [0,1[$

- On note les développements décimaux en excluant les développements illimités ne comportant que des $ 9$ 1.1

- Soit donc $ x\in [0,1[$, on montre la non-dérivabilité de $ f$ en $ x$.

- Soit $ x_n$ la $ n$-ième décimale de $ x$.

- définissons $ h_m=-10^{-m}$ si $ x_m=4$ ou $ x_m=9$, $ h_m=10^{-m}$ sinon.

- Calculons maintenant

$\displaystyle \frac{f(x+h_m)-f(x)}{h_m}$

$\displaystyle =10^m \sum_{n=1}^\infty \frac{\epsilon _n(T(10^n(x+\epsilon _m'10^{-m}))-T(10^nx))}{10^n}$

- Raisonnons un petit peu maintenant, sur un cas particulier pour mieux visualiser ( $ x=0.33333333...$):

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}
\hlin...
...dots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\hline
\end{array}\end{displaymath}

Il faut bien noter que dans le cas général le chiffre de la dernière colonne peut être $ 1$ ou $ -1$; quoi qu'il en soit $ \frac{f(x+h_m)-f(x)}{h_m}$ est un entier de parité variant avec $ m$ et ne peut donc pas converger.$ \sqcap$$ \sqcup$

On en profite pour montrer ce dont est capable Maple. Le dessin se trouve en figure [*].



Exemple Maple


$ >T := x\rightarrow \mathrm{min}(x - \mathrm{floor}(x), \,\mathrm{floor}(x) + 1 - x)$

$\displaystyle T := x\rightarrow \mathrm{min}(x - \mathrm{floor}(x), \,\mathrm{floor}(x) + 1 - x)$

$ >g := x-> sum(T(2^n*x)/2^n,n=0..17);$

$\displaystyle g := x\rightarrow {\displaystyle \sum _{n=0}^{17}} \,{\displaystyle \frac {\mathrm{T}(2^{n}\,x)}{2^{n}}}$





Figure: Tracé d'une courbe continue dérivable nulle part, établie par Van der Waerden
\epsfig{file=conpasde.eps,width=8cm}



Notes

...\space 1.1
Au profit de l'équivalent obtenu en remplaçant $ ...243999999999...$ par $ ...2449999999999...$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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