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Fonction dérivable dans toutes les directions mais non continue

Définition Soit $ f$ une application d'un ouvert $ U$ d'un espace vectoriel normé $ E$ dans un espace vectoriel normé $ F$, alors $ f$ est dite différentiable en $ x \in U$ suivant la direction $ e\in E$ si l'application $ g:\mathbb{R}\to F$ $ t \mapsto f(x+tu)$ est différentiable en 0. La différentielle de $ g$ en 0 est alors appelée différentielle de $ f$ en $ x$ suivant $ u$.

Proposition Il existe une application $ f$ différentiable dans toutes les directions en $ x$ et qui n'est pas continue en $ x$.

Démonstration: Le livre [20] propose la fonction $ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $ (x,y)\mapsto \frac{x^5}{(y-x^2)^2+x^8}$, avec $ f(0,0)=0$. On constate la non continuité de $ f$ en regardant la limite de $ x\mapsto f(x,x^2)$ en 0. La différentiabilité suivant toutes les directions est vite vue (distinguer différents cas, suivant $ u=(a,b)$, cas $ a$ et $ b$ non nuls, cas $ a$ nul, ou cas $ b$ nul).

On peut aussi regarder la fonction définie par ses coordonnées polaires par

$\displaystyle f(r\cos(\theta),r\sin(\theta))=e^{-\frac{(\theta-r)^2}{r^4}}$

Avec $ f(0,0)=0$, on a bien une fonction différentiable dans toutes les directions (avec des différentielles nulles!), et on constate sans le moindre calcul que $ f(xcos(x),xsin(x))$ est constant égal à $ 1$ pour $ x\neq 0$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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