Définition
Soit une application d'un ouvert d'un espace vectoriel normé dans un espace vectoriel normé , alors
est dite différentiable en suivant la direction
si l'application
est différentiable en 0.
La différentielle de en 0 est alors appelée différentielle de en suivant .
Proposition
Il existe une application différentiable dans toutes les directions en et qui n'est pas continue en .
Démonstration:Le livre [20] propose la fonction
,
, avec . On constate la non continuité de en regardant la limite de
en 0. La différentiabilité suivant toutes les directions est vite vue (distinguer différents cas, suivant , cas et non nuls, cas nul, ou cas nul).
On peut aussi regarder la fonction définie par ses coordonnées polaires par
Avec , on a bien une fonction différentiable dans toutes les directions (avec des différentielles nulles!), et on constate sans le moindre calcul que
est constant égal à pour .
une application d'un ouvert 
d'un espace vectoriel normé 
dans un espace vectoriel normé 
, alors
suivant la direction 
est différentiable en 0
en 0 est alors appelée différentielle de 
suivant 
,
, avec 
. On constate la non continuité de 
en 0. La différentiabilité suivant toutes les directions est vite vue (distinguer différents cas, suivant 
, cas 
et 
non nuls, cas 
est constant égal à 
pour 
.
