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Variétés de $ \mathbb{R}^n$, théorème de Jordan

Définition - Proposition[Variété de $ \mathbb{R}^n$] Soit $ M$ une partie de $ \mathbb{R}^n$, $ x$ un point de $ M$. Soit $ p$ un entier $ >0$ et $ k$ un entier $ >0$.

$ M$ est par définition une variété de dimension $ p$ et de classe $ C^k$ au voisinage de $ x$ si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée:

(i) Il existe $ V$ voisinage ouvert de $ x$ tel qu'il existe un $ C^k$ difféomorphisme de $ V$ sur $ W\subset \mathbb{R}^n$ tel que $ g(x)=0$ et $ g(M\cap V)=W\cap P$, avec $ P$ l'ensemble des $ (y_1,...,y_n)$ tels que $ y_{p+1}=0$, $ y_{p+2}=0$, ... , $ y_n=0$.

(ii) Après une permutation pertinente des coordonnées $ (x_1,...,x_n)$, il existe $ V$ voisinage ouvert de $ x$ et $ \phi$ application $ C^k$ de $ \mathbb{R}^p$ dans $ \mathbb{R}^{n-p}$ tel que pour tout $ y$ dans $ V$

$\displaystyle y\in M \iff \phi(y_1,...,y_p)=(y_{p+1},...,y_n)$

(iii) Il existe un voisinage $ V$ ouvert de $ x$, $ \Omega$ un voisinage ouvert de 0 dans $ \mathbb{R}^p$, $ f$ une application $ C^k$ de $ \Omega$ dans $ \mathbb{R}^n$, tels que $ f$ induise un homéomorphisme de $ \Omega$ sur $ M \cap V$, $ f(0)=x$ et $ f'(0)$ de rang $ p$ 1.2.

(iv) Il existe un voisinage $ V$ ouvert de $ x$, $ \Omega$ un voisinage ouvert de 0 dans $ \mathbb{R}^p$, $ f$ une application $ C^k$ de $ \Omega$ dans $ \mathbb{R}^n$, tels que $ f$ induise un homéomorphisme de $ \Omega$ sur $ M \cap V$, $ f(0)=x$ et $ f'(y)$ de rang $ p$ pour tout $ y$ dans $ \Omega$ 1.3.


Démonstration:

On notera pendant cette preuve $ x_{\vert I}$, avec $ I=\{i_1,...,i_m\}$ et $ i_1 < i_2 < \dots < i_m$ un sous-ensemble de $ [1,n]$ et $ x$ un élément de $ \mathbb{R}^n$, $ (x_{i_1},\dots,x_{i_m})$.

$ \bullet\ $L'équivalence entre (iii) et (iv) est claire; bien sûr (iv) implique (iii), et réciproquement en supposant (iii) par continuité de la différentielle et continuité du déterminant d'une matrice extraite, on peut trouver un voisinage de 0 dans lequel la différentielle a le même rang. Il suffit alors de se restreindre à ce voisinage.

$ \bullet\ $Voyons maintenant que (iii) implique (ii).

Supposons (iii). La matrice de la différentielle de $ f$ en 0 est de rang $ p$; modulo une bonne permutation des coordonnées, on peut donc supposer que la matrice extraite de la différentielle pour les indices en ligne et en colonne inférieurs ou égaux à $ p$ est inversible.

En se restreignant aux $ p$ première coordonnées, $ f$ est alors $ C^k$, de différentielle en 0 de rang plein. On peut donc appliquer le théorème d'inversion locale [*], et $ f$ ainsi restreint est donc un $ C^k$ difféomorphisme au voisinage de 0. En prenant $ \phi$ la composée de $ f$ et de l'inverse de la restriction de $ f$ aux $ p$-premières coordonnées, on obtient une fonction satisfaisant (ii).

$ \bullet\ $Voyons maintenant (ii) implique (iii).

Supposons (ii) vérifiée. Définissons alors $ f(y)=(y+x_{\vert[1,p]}, \phi(y+x_{\vert[1,p]})$1.4. $ f$ convient...

$ \bullet\ $Montrons maintenant que (iii) implique (i).

Supposons (iii) vérifiée.

Définissons alors $ g(y)=(y_{\vert[1,p]}-x_{\vert[1,p]},y_{\vert[p+1,n]}-\phi(y_{\vert[1,p]})$... $ g$ convient pour (i).

$ \bullet\ $Il ne reste plus qu'à vérifier que (i) implique (iii).

Supposons donc (i) vérifiée.

Alors soit $ f(y)=g^{-1}(y_{\vert[1,p]},0,\dots,0)$.

La différentielle de $ g$ est injective, donc la restriction à $ \mathbb{R}^p$ est injective aussi. Donc $ f$ vérifie bien (iii).$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Théorème de Jordan]

Toute hypersurface $ M$ (i.e. variété de dimension $ n-1$) de $ \mathbb{R}^n$ $ C^\infty$

$ \bullet\ $est le noyau d'une application $ C^\infty$ dont la différentielle ne s'annule pas sur $ M$.

$ \bullet\ $est orientable (c'est à dire qu'il existe un champ de vecteur ne s'annulant pas, continu, défini sur $ M$, à valeurs dans $ \mathbb{R}^n$)

$ \bullet\ $partage le plan en deux domaines1.5 (l'un borné l'autre non) dont elle est la frontière commune.

Démonstration:

Ce théorème, long et loin d'être trivial, nécéssitera différents lemmes. Cette preuve est largement inspiré de la note "Le théorème de Jordan pour les hypersurfaces $ C^\infty$", de D. Leborgne, paru dans la Revue de Maths Spé numéro 104, 1993-1994, lui-même inspiré de l'article "Orientability of smooth hypersurfaces and the Jordan Brouwer separation theorem", Expo. Math. 5 (1987), p 283-286.

Lemme

Soit $ X$ un espace topologique connexe, et $ f$ et $ g$ continues de $ X$ dans $ \mathbb{R}$. Si $ f$ et $ g$ sont localement égales ou opposées, et si l'intérieur de $ f^{-1}(0)$ est réduit à l'ensemble vide, alors $ f$ et $ g$ sont égales ou opposées.

Démonstration:

$ \bullet\ $Définissons:

$\displaystyle Egales=\{ x / f(x)=g(x) \}$

$\displaystyle Oppos=\{ x / f(x)=-g(x) \}$

Et notons $ \Omega$ l'intérieur de $ Egales$.

$ \bullet\ $Supposons tout d'abord $ \Omega$ non vide, et montrons que $ \Omega=X$. Si on a un tel résultat, alors on saura que soit $ Egales$ est d'intérieur vide, soit il est égal à tout l'espace. Si $ Egales$ est égal à tout l'espace, alors on a bien le résultat souhaité. Si $ Egales$ est d'intérieur vide, alors l'ensemble des $ x$ tels que $ f(x)=g(x) \neq 0$ (inclus dans l'intérieur d'$ Egales$) est vide, et donc $ Oppos=X$, d'où le résultat souhaité. Donc montrer que si $ \Omega\neq \emptyset$ alors $ \Omega=X$ est suffisant pour le résultat souhaité.

$ \bullet\ $Donc, on suppose $ \Omega$ vide.

$ \bullet\ $Soit $ x$ appartenant à la frontière de $ \Omega$.

$ \bullet\ $Par hypothèse, il existe $ U$ ouvert contenant $ x$ sur lequel $ f$ et $ g$ sont égales ou opposées, puisque $ f$ et $ g$ sont localement égales ou opposées.

$ \bullet\ $L'intersection de $ U$ et $ \Omega$ est non vide (puisque $ x$ est sur la frontière de $ \Omega$), et contient un point sur lequel $ f$ et $ g$ sont non nulles, puisque $ f^{-1}(x)$ est d'intérieur vide. Donc $ f$ et $ g$ sont égales sur $ U$ (rappelons que $ \Omega$ est inclus dans $ Egales$).

$ \bullet\ $On en déduit que $ x$ appartient à $ Egales$.

$ \bullet\ $On a donc montré que la frontière de $ \Omega$ est incluse dans $ \Omega$.

$ \bullet\ $$ \Omega$ est donc fermé et ouvert.

$ \bullet\ $$ \Omega$ est donc égal à $ X$, puisque $ X$ est connexe. D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Nous avons encore besoin d'un lemme de topologie :

Lemme

Soit $ (\Omega_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts recouvrant $ \mathbb{R}^n$, et pour $ i$ dans $ I$, $ f_i$ application $ C^\infty$ de $ \Omega_i$ dans $ \mathbb{R}$, telle que l'intérieur de $ f_i^{-1}(0)$ soit d'intérieur vide.

Supposons que lorsque $ \Omega_i$ et $ \Omega_j$ s'intersectent, alors $ f_i$ et $ f_j$ soient égales ou opposées localement sur $ \Omega_i \cap \Omega_j$.

Alors il existe une unique fonction $ f$, au signe près, dont la restriction pour tout $ i$ à $ \Omega_i$ soit $ f_i$.

Remarque Bien voir que l'on n'a pas supposé que les $ \Omega_i$ soient connexes.

Démonstration:

$ \bullet\ $On considère la famille $ (B_j)_{j\in J}$ des boules $ B$ telles qu'il existe un certain $ i$ tel que $ B \subset \Omega_i$. On définit $ f'_j$ la restriction de $ \Omega_i$ à $ B_j$, lorsque $ B_j$ est inclus dans $ \Omega_i$.

$ \bullet\ $Supposons qu'on ait construit une fonction $ f$ localement égale ou opposé à $ f'_j$ sur $ B_j$ pour tout $ j$ dans $ J$.

$ \bullet\ $Alors $ f$, pour tout $ j$ dans $ J$, est égale à $ \epsilon '_j f'_j$ sur $ B_j$, avec $ \epsilon '_j\in \{-1,1\}$, par connexité de $ B_j$ et application du lemme précédent [*].

$ \bullet\ $Alors $ f$, pour tout $ i$ dans $ I$, est égale à $ \epsilon _i f_i$ sur $ \Omega_i$, avec $ \epsilon _i\in \{-1,1\}$. En effet, donnons-nous $ x$ et $ y$ dans $ \Omega_i$, avec $ f_i(x)$ et $ f_i(y)$ tous deux non nuls, et montrons que nécéssairement $ f$ et $ f_i$ égales (resp. opposées) en $ x$ implique $ f$ et $ f_i$ égales (resp. opposées) en $ y$.

- le segment $ [x,y]$ est recouvert par un nombre fini de boules $ B_j$

- chacune des intersections de ces boules est connexe, et chaque boule est connexe.

- on peut donc appliquer sur chacun de ces connexes le lemme [*], d'où le résultat.

$ \bullet\ $Il reste donc simplement à construire une fonction $ f$ convenable sur les $ B_j$.

$ \bullet\ $On montre tout d'abord le résultat en dimension $ 1$, sur un segment fermé. Cela se fait en recouvrant le segment en question par un nombre fini de boules ouvertes $ B_j$, en définissant $ f$ sur cette réunion finie de proche en proche. Le fait que l'on soit en dimension $ 1$ rend cela facile; il suffit de choisir des ouverts consécutifs, non inclus les uns dans les autres. Par le lemme [*], on a une solution et une seule, au signe près.

$ \bullet\ $On procède maintenant par récurrence sur la dimension $ i$, pour montrer l'existence et l'unicité au signe près d'une telle fonction sur un pavé $ [-m,m]^i$.

$ \bullet\ $Pour cela on considère ce pavé comme le produit $ [-m,m]\times[-m,m]^{i-1}$.

$ \bullet\ $On définit une fonction $ f_t$ pour $ t$ dans $ [-m,m]$, définie sur $ [-m,m]^{i-1}$, en utilisant l'hypothèse de récurrence, $ f_t$ égale à FLEMMARD ça marche pas parce qu'on n'est pas sur que l'intersection d'un ensemble d'intérieur vide avec un ensemble de dimension inférieure est d'intersection vide.

$ \bullet\ $



Notes

...\space 1.2
Il s'agit d'un élément de $ {\cal L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^n)$.
...\space 1.3
Il s'agit d'un élément de $ {\cal L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^n)$.
... $ f(y)=(y+x_{\vert[1,p]}, \phi(y+x_{\vert[1,p]})$1.4
Je "recolle" ainsi un élément de $ \mathbb{R}^p$ et un élément de $ \mathbb{R}^{n-p}$ pour obtenir un élément de $ \mathbb{R}^n$
... domaines1.5
Rappelons qu'un domaine est un ouvert connexe.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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