Définition - Proposition[Variété de
]
Soit une partie de
, un point de . Soit un entier et un entier .
est par définition une variété de dimension et de classe au voisinage de si
l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée:
(i) Il existe voisinage ouvert de tel qu'il existe un difféomorphisme de sur
tel que et
, avec l'ensemble des
tels que , , ... , .
(ii) Après une permutation pertinente des coordonnées
, il existe voisinage ouvert de et application de
dans
tel que pour tout dans
(iii) Il existe un voisinage ouvert de , un voisinage ouvert de 0 dans
, une application de dans
, tels que induise un homéomorphisme de sur , et de rang 1.2.
(iv) Il existe un voisinage ouvert de , un voisinage ouvert de 0 dans
, une application de dans
, tels que induise un homéomorphisme de sur , et de rang pour tout dans 1.3.
Démonstration:
On notera pendant cette preuve , avec
et
un sous-ensemble de et un élément de
,
.
L'équivalence entre (iii) et (iv) est claire; bien sûr (iv) implique (iii), et réciproquement en supposant (iii) par continuité de la différentielle et continuité du déterminant d'une matrice extraite, on peut trouver un voisinage de 0 dans lequel la différentielle a le même rang. Il suffit alors de se restreindre à ce voisinage.
Voyons maintenant que (iii) implique (ii).
Supposons (iii). La matrice de la différentielle de en 0 est de rang ; modulo une bonne permutation des coordonnées, on peut donc supposer que la matrice extraite de la différentielle pour les indices en ligne et en colonne inférieurs ou égaux à est inversible.
En se restreignant aux première coordonnées, est alors , de différentielle en 0 de rang plein. On peut donc appliquer le théorème d'inversion locale , et ainsi restreint est donc un difféomorphisme au voisinage de 0. En prenant la composée de et de l'inverse de la restriction de aux -premières coordonnées, on obtient une fonction satisfaisant (ii).
Voyons maintenant (ii) implique (iii).
Supposons (ii) vérifiée. Définissons alors
1.4. convient...
Montrons maintenant que (iii) implique (i).
Supposons (iii) vérifiée.
Définissons alors
... convient pour (i).
Il ne reste plus qu'à vérifier que (i) implique (iii).
Supposons donc (i) vérifiée.
Alors soit
.
La différentielle de est injective, donc la restriction à
est injective aussi. Donc vérifie bien (iii).
Théorème [Théorème de Jordan]
Toute hypersurface (i.e. variété de dimension ) de
est le noyau d'une application dont la différentielle ne s'annule pas sur .
est orientable (c'est à dire qu'il existe un champ de vecteur ne s'annulant pas, continu, défini sur , à valeurs dans
)
partage le plan en deux domaines1.5 (l'un borné l'autre non) dont elle est la frontière commune.
Démonstration:
Ce théorème, long et loin d'être trivial, nécéssitera différents lemmes. Cette preuve est largement inspiré de la note "Le théorème de Jordan pour les hypersurfaces ", de D. Leborgne, paru dans la Revue de Maths Spé numéro 104, 1993-1994, lui-même inspiré de l'article "Orientability of smooth hypersurfaces and the Jordan Brouwer separation theorem", Expo. Math. 5 (1987), p 283-286.
Lemme
Soit un espace topologique connexe, et et continues de dans
.
Si et sont localement égales ou opposées, et si l'intérieur de est réduit à l'ensemble vide, alors et sont égales ou opposées.
Démonstration:
Définissons:
Et notons l'intérieur de .
Supposons tout d'abord non vide, et montrons que . Si on a un tel résultat,
alors on saura que soit est d'intérieur vide, soit il est égal à tout l'espace. Si
est égal à tout l'espace, alors on a bien le résultat souhaité. Si est d'intérieur vide,
alors l'ensemble des tels que
(inclus dans l'intérieur d') est vide,
et donc , d'où le résultat souhaité. Donc montrer que si
alors
est suffisant pour le résultat souhaité.
Donc, on suppose vide.
Soit appartenant à la frontière de .
Par hypothèse, il existe ouvert contenant sur lequel et sont égales ou opposées, puisque et sont localement égales ou opposées.
L'intersection de et est non vide (puisque est sur la frontière de ), et contient un point sur lequel et sont non nulles, puisque est d'intérieur vide. Donc
et sont égales sur (rappelons que est inclus dans ).
On en déduit que appartient à .
On a donc montré que la frontière de est incluse dans .
est donc fermé et ouvert.
est donc égal à , puisque est connexe. D'où le résultat.
Nous avons encore besoin d'un lemme de topologie :
Lemme
Soit
une famille d'ouverts recouvrant, et pour dans , application de dans
, telle que l'intérieur de
soit d'intérieur vide.
Supposons que lorsque et s'intersectent, alors et soient égales ou opposées localement sur
.
Alors il existe une unique fonction , au signe près, dont la restriction pour tout à soit .
Bien voir que l'on n'a pas supposé que les soient connexes.
Démonstration:
On considère la famille
des boules telles qu'il existe un
certain tel que
. On définit la restriction de
à , lorsque est inclus dans .
Supposons qu'on ait construit une fonction localement égale ou opposé à sur pour
tout dans .
Alors , pour tout dans , est égale à
sur , avec
, par connexité de et application du lemme précédent .
Alors , pour tout dans , est égale à
sur , avec
. En effet, donnons-nous et dans , avec et tous deux non nuls, et montrons que nécéssairement et égales (resp. opposées) en implique et égales (resp. opposées) en .
- le segment est recouvert par un nombre fini de boules
- chacune des intersections de ces boules est connexe, et chaque boule est connexe.
- on peut donc appliquer sur chacun de ces connexes le lemme , d'où le résultat.
Il reste donc simplement à construire une fonction convenable sur les .
On montre tout d'abord le résultat en dimension , sur un segment fermé.
Cela se fait en recouvrant le segment en question par un nombre fini de boules
ouvertes , en définissant sur cette réunion finie de proche en proche.
Le fait que l'on soit en dimension rend cela facile; il suffit de choisir
des ouverts consécutifs, non inclus les uns dans les autres. Par le lemme ,
on a une solution et une seule, au signe près.
On procède maintenant par récurrence sur la dimension , pour montrer l'existence
et l'unicité au signe près d'une telle fonction sur un pavé .
Pour cela on considère ce pavé comme le produit
.
On définit une fonction pour dans , définie sur
, en
utilisant l'hypothèse de récurrence, égale à FLEMMARD ça marche pas parce qu'on
n'est pas sur que l'intersection d'un ensemble d'intérieur vide avec un ensemble de dimension
inférieure est d'intersection vide.