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Variétés de , théorème de Jordan

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Variétés de $\mathbb{R}^n$ , théorème de Jordan

Définition - Proposition[Variété de $\mathbb{R}^n$ ] Soit une partie de $\mathbb{R}^n$ , un point de . Soit un entier et un entier .

est par définition une variété de dimension et de classe au voisinage de si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée:

(i) Il existe voisinage ouvert de tel qu'il existe un difféomorphisme de sur $W\subset \mathbb{R}^n$ tel que et $g(M\cap V)=W\cap P$ , avec l'ensemble des tels que $y_{p+1}=0$ , $y_{p+2}=0$ , ... , .

(ii) Après une permutation pertinente des coordonnées , il existe voisinage ouvert de et $\phi$ application de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^{n-p}$ tel que pour tout dans

$\displaystyle y\in M \iff \phi(y_1,...,y_p)=(y_{p+1},...,y_n)$

(iii) Il existe un voisinage ouvert de , $\Omega$ un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbb{R}^p$ , une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^n$ , tels que induise un homéomorphisme de $\Omega$ sur $M \cap V$ , et de rang ^1.2.

(iv) Il existe un voisinage ouvert de , $\Omega$ un voisinage ouvert de 0 dans $\mathbb{R}^p$ , une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}^n$ , tels que induise un homéomorphisme de $\Omega$ sur $M \cap V$ , et de rang pour tout dans $\Omega$ ^1.3.

Démonstration:

On notera pendant cette preuve $x_{\vert I}$ , avec $I=\{i_1,...,i_m\}$ et $i_1 < i_2 < \dots < i_m$ un sous-ensemble de et un élément de $\mathbb{R}^n$ , $(x_{i_1},\dots,x_{i_m})$ .

$\bullet\$ L'équivalence entre (iii) et (iv) est claire; bien sûr (iv) implique (iii), et réciproquement en supposant (iii) par continuité de la différentielle et continuité du déterminant d'une matrice extraite, on peut trouver un voisinage de 0 dans lequel la différentielle a le même rang. Il suffit alors de se restreindre à ce voisinage.

$\bullet\$ Voyons maintenant que (iii) implique (ii).

Supposons (iii). La matrice de la différentielle de en 0 est de rang ; modulo une bonne permutation des coordonnées, on peut donc supposer que la matrice extraite de la différentielle pour les indices en ligne et en colonne inférieurs ou égaux à est inversible.

En se restreignant aux première coordonnées, est alors , de différentielle en 0 de rang plein. On peut donc appliquer le théorème d'inversion locale , et ainsi restreint est donc un difféomorphisme au voisinage de 0. En prenant $\phi$ la composée de et de l'inverse de la restriction de aux -premières coordonnées, on obtient une fonction satisfaisant (ii).

$\bullet\$ Voyons maintenant (ii) implique (iii).

Supposons (ii) vérifiée. Définissons alors $f(y)=(y+x_{\vert[1,p]}, \phi(y+x_{\vert[1,p]})$ ^1.4. convient...

$\bullet\$ Montrons maintenant que (iii) implique (i).

Supposons (iii) vérifiée.

Définissons alors $g(y)=(y_{\vert[1,p]}-x_{\vert[1,p]},y_{\vert[p+1,n]}-\phi(y_{\vert[1,p]})$ ... convient pour (i).

$\bullet\$ Il ne reste plus qu'à vérifier que (i) implique (iii).

Supposons donc (i) vérifiée.

Alors soit $f(y)=g^{-1}(y_{\vert[1,p]},0,\dots,0)$ .

La différentielle de est injective, donc la restriction à $\mathbb{R}^p$ est injective aussi. Donc vérifie bien (iii). $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Théorème de Jordan]

Toute hypersurface (i.e. variété de dimension ) de $\mathbb{R}^n$ $C^\infty$

$\bullet\$ est le noyau d'une application $C^\infty$ dont la différentielle ne s'annule pas sur .

$\bullet\$ est orientable (c'est à dire qu'il existe un champ de vecteur ne s'annulant pas, continu, défini sur , à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ )

$\bullet\$ partage le plan en deux domaines^1.5 (l'un borné l'autre non) dont elle est la frontière commune.

Démonstration:

Ce théorème, long et loin d'être trivial, nécéssitera différents lemmes. Cette preuve est largement inspiré de la note "Le théorème de Jordan pour les hypersurfaces $C^\infty$ ", de D. Leborgne, paru dans la Revue de Maths Spé numéro 104, 1993-1994, lui-même inspiré de l'article "Orientability of smooth hypersurfaces and the Jordan Brouwer separation theorem", Expo. Math. 5 (1987), p 283-286.

Lemme

Soit un espace topologique connexe, et et continues de dans $\mathbb{R}$ . Si et sont localement égales ou opposées, et si l'intérieur de $f^{-1}(0)$ est réduit à l'ensemble vide, alors et sont égales ou opposées.

Démonstration:

$\bullet\$ Définissons:

$\displaystyle Egales=\{ x / f(x)=g(x) \}$

$\displaystyle Oppos=\{ x / f(x)=-g(x) \}$

Et notons $\Omega$ l'intérieur de

$\bullet\$ Supposons tout d'abord $\Omega$ non vide, et montrons que $\Omega=X$ . Si on a un tel résultat, alors on saura que soit est d'intérieur vide, soit il est égal à tout l'espace. Si est égal à tout l'espace, alors on a bien le résultat souhaité. Si est d'intérieur vide, alors l'ensemble des tels que $f(x)=g(x) \neq 0$ (inclus dans l'intérieur d') est vide, et donc , d'où le résultat souhaité. Donc montrer que si $\Omega\neq \emptyset$ alors $\Omega=X$ est suffisant pour le résultat souhaité.

$\bullet\$ Donc, on suppose $\Omega$ vide.

$\bullet\$ Soit appartenant à la frontière de $\Omega$ .

$\bullet\$ Par hypothèse, il existe ouvert contenant sur lequel et sont égales ou opposées, puisque et sont localement égales ou opposées.

$\bullet\$ L'intersection de et $\Omega$ est non vide (puisque est sur la frontière de $\Omega$ ), et contient un point sur lequel et sont non nulles, puisque $f^{-1}(x)$ est d'intérieur vide. Donc et sont égales sur (rappelons que $\Omega$ est inclus dans ).

$\bullet\$ On en déduit que appartient à .

$\bullet\$ On a donc montré que la frontière de $\Omega$ est incluse dans $\Omega$ .

$\bullet\$ $\Omega$ est donc fermé et ouvert.

$\bullet\$ $\Omega$ est donc égal à , puisque est connexe. D'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Nous avons encore besoin d'un lemme de topologie :

Lemme

Soit $(\Omega_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts recouvrant $\mathbb{R}^n$ , et pour dans , application $C^\infty$ de $\Omega_i$ dans $\mathbb{R}$ , telle que l'intérieur de $f_i^{-1}(0)$ soit d'intérieur vide.

Supposons que lorsque $\Omega_i$ et $\Omega_j$ s'intersectent, alors et soient égales ou opposées localement sur $\Omega_i \cap \Omega_j$ .

Alors il existe une unique fonction , au signe près, dont la restriction pour tout à $\Omega_i$ soit .

Bien voir que l'on n'a pas supposé que les $\Omega_i$ soient connexes.

Démonstration:

$\bullet\$ On considère la famille $(B_j)_{j\in J}$ des boules telles qu'il existe un certain tel que $B \subset \Omega_i$ . On définit la restriction de $\Omega_i$ à , lorsque est inclus dans $\Omega_i$ .

$\bullet\$ Supposons qu'on ait construit une fonction localement égale ou opposé à sur pour tout dans .

$\bullet\$ Alors , pour tout dans , est égale à $\epsilon '_j f'_j$ sur , avec $\epsilon '_j\in \{-1,1\}$ , par connexité de et application du lemme précédent .

$\bullet\$ Alors , pour tout dans , est égale à $\epsilon _i f_i$ sur $\Omega_i$ , avec $\epsilon _i\in \{-1,1\}$ . En effet, donnons-nous et dans $\Omega_i$ , avec et tous deux non nuls, et montrons que nécéssairement et égales (resp. opposées) en implique et égales (resp. opposées) en .

- le segment est recouvert par un nombre fini de boules

- chacune des intersections de ces boules est connexe, et chaque boule est connexe.

- on peut donc appliquer sur chacun de ces connexes le lemme , d'où le résultat.

$\bullet\$ Il reste donc simplement à construire une fonction convenable sur les .

$\bullet\$ On montre tout d'abord le résultat en dimension , sur un segment fermé. Cela se fait en recouvrant le segment en question par un nombre fini de boules ouvertes , en définissant sur cette réunion finie de proche en proche. Le fait que l'on soit en dimension rend cela facile; il suffit de choisir des ouverts consécutifs, non inclus les uns dans les autres. Par le lemme , on a une solution et une seule, au signe près.

$\bullet\$ On procède maintenant par récurrence sur la dimension , pour montrer l'existence et l'unicité au signe près d'une telle fonction sur un pavé .

$\bullet\$ Pour cela on considère ce pavé comme le produit $[-m,m]\times[-m,m]^{i-1}$ .

$\bullet\$ On définit une fonction pour dans , définie sur $[-m,m]^{i-1}$ , en utilisant l'hypothèse de récurrence, égale à FLEMMARD ça marche pas parce qu'on n'est pas sur que l'intersection d'un ensemble d'intérieur vide avec un ensemble de dimension inférieure est d'intersection vide.

$\bullet\$

Notes

...\space ^1.2: Il s'agit d'un élément de ${\cal L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^n)$ .
...\space ^1.3: Il s'agit d'un élément de ${\cal L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^n)$ .
... $f(y)=(y+x_{\vert[1,p]}, \phi(y+x_{\vert[1,p]})$ ^1.4: Je "recolle" ainsi un élément de $\mathbb{R}^p$ et un élément de $\mathbb{R}^{n-p}$ pour obtenir un élément de $\mathbb{R}^n$
... domaines ^1.5: Rappelons qu'un domaine est un ouvert connexe.