La boule unité fermée d'un espace vectoriel normé est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie (théorème de Riesz ).
Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet.
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (voir théorème ).
En particulier, les espaces vectoriels normés réels de dimension finie sont tous isomorphes à
pour un certain , tous les espaces vectoriels normés complexes de dimension finie sont isomorphes à
pour un certain . Les compacts
d'un espace vectoriel de dimension finie sont donc exactement les fermés bornés. Cela implique notamment que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé (qu'il s'agisse d'un espace vectoriel normé de dimension finie ou non).
Définition
Une partie d'un espace vectoriel normé est dite équilibrée si elle contient pour tout de module et tout de .
Théorème
Soit un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors, soit
, est la boule unité pour une certaine norme si et seulement si est convexe équilibré compact ayant 0 comme point intérieur. La norme correspondante est alors unique.
Démonstration:Cette preuve, utilisant la notion de jauge, est détaillée dans [22, p236].
Définition
On définit ici la notion de séparation au sens large (resp. strict):
On dit qu'un hyperplan sépare au sens large deux parties et (resp. sépare au sens strict) si et sont inclus dans l'un et l'autre des demi-espaces fermés (resp. ouverts) délimités par .
Théorème [Forme géométrique de Hahn-Banach en dim. finie]
Soit un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors:
Soit ouvert convexe non vide, sous-espace vectoriel de de dimension finie n'intersectant pas . Alors il existe un hyperplan tel que
et
.
Soient et des convexes non vides et disjoints de . Alors
- Si est ouvert, il existe un hyperplan séparant et au sens large.
- Si et sont ouverts, il existe un hyperplan séparant et au sens strict.
- Si est compact et fermé, il existe un hyperplan séparant et au sens strict.
- Si et sont fermés, alors il existe un hyperplan séparant et .
Démonstration:Voir [19, p347] pour une preuve complète; les points sont à démontrer dans cet
ordre pour simplifier la preuve.
Propriétés topologiques![[*]](/images/crossref.png)
pour un certain 
, tous les espaces vectoriels normés complexes de dimension finie sont isomorphes à
pour un certain 
d'un espace vectoriel normé est dite équilibrée
pour tout 
de module 
et tout 
de 
un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors, soit
, 
est la boule unité pour une certaine norme si et seulement si 
sépare au sens large deux parties 
Soit 
sous-espace vectoriel de 
et
.
