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Sous-sections


Espaces vectoriels normés de dimension finie

$ \boxcircle$ Propriétés topologiques

La boule unité fermée d'un espace vectoriel normé est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie (théorème de Riesz [*]).

Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet. Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (voir théorème [*]). En particulier, les espaces vectoriels normés réels de dimension finie sont tous isomorphes à $ \mathbb{R}^n$ pour un certain $ n$, tous les espaces vectoriels normés complexes de dimension finie sont isomorphes à $ \mathbb{C}^n$ pour un certain $ n$. Les compacts d'un espace vectoriel de dimension finie sont donc exactement les fermés bornés. Cela implique notamment que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé (qu'il s'agisse d'un espace vectoriel normé de dimension finie ou non).

$ \boxcircle$ Propriétés géométriques

Définition Une partie $ A$ d'un espace vectoriel normé est dite équilibrée si elle contient $ ax$ pour tout $ a$ de module $ 1$ et tout $ x$ de $ A$.

Théorème Soit $ E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors, soit $ B \subset E$, $ B$ est la boule unité pour une certaine norme si et seulement si $ B$ est convexe équilibré compact ayant 0 comme point intérieur. La norme correspondante est alors unique.

Démonstration: Cette preuve, utilisant la notion de jauge, est détaillée dans [22, p236].$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition On définit ici la notion de séparation au sens large (resp. strict): On dit qu'un hyperplan $ H$ sépare au sens large deux parties $ A$ et $ B$ (resp. sépare au sens strict) si $ A$ et $ B$ sont inclus dans l'un et l'autre des demi-espaces fermés (resp. ouverts) délimités par $ H$.

Théorème [Forme géométrique de Hahn-Banach en dim. finie]

Soit $ E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Alors:

$ \bullet\ $Soit $ A$ ouvert convexe non vide, $ L$ sous-espace vectoriel de $ E$ de dimension finie n'intersectant pas $ A$. Alors il existe un hyperplan $ H$ tel que $ L \subset H$ et $ A \cap H =\emptyset$.

$ \bullet\ $Soient $ A$ et $ B$ des convexes non vides et disjoints de $ E$. Alors

- Si $ A$ est ouvert, il existe un hyperplan séparant $ A$ et $ B$ au sens large.

- Si $ A$ et $ B$ sont ouverts, il existe un hyperplan séparant $ A$ et $ B$ au sens strict.

- Si $ A$ est compact et $ B$ fermé, il existe un hyperplan séparant $ A$ et $ B$ au sens strict.

- Si $ A$ et $ B$ sont fermés, alors il existe un hyperplan séparant $ A$ et $ B$.

Démonstration: Voir [19, p347] pour une preuve complète; les points sont à démontrer dans cet ordre pour simplifier la preuve.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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