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Théorème de Cantor-Bernstein

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Généralités

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Généralités

Définition Soient et des espaces vectoriels normés et un ouvert de . Soit une application $f:U\rightarrow F$ , on dit que est différentiable (ou dérivable) en $x \in U$ s'il existe une application linéaire continue $\phi$ de dans telle que

$\displaystyle lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)-\phi(h)}{\parallel h \parallel} = 0$

On appelle $\phi$ la différentielle ou dérivée de

, on la note

est dite différentiable si elle est différentiable en tout point de

Proposition $\bullet\$ Si est dérivable en , alors est continue en .
$\bullet\$ La dérivée de est unique et

$\displaystyle Df(x)(h)=lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t.h)-f(x)}t$

$\bullet\$ La notion de dérivée ne dépend que des topologies

et pas des normes

(du moment qu'elles définissent la même topologie); si deux normes sont équivalentes

, alors une fonction différentiable pour l'une est différentiable pour l'autre, et la différentielle est la même.
$\bullet\$ $D({\lambda}f + \mu g)(x)={\lambda}Df(x) + \mu Dg(x)$
$\bullet\$ Si

corps associé aux espaces vectoriels

, alors la différentiabilité équivaut à l'existence de la limite pour $t \rightarrow 0$ de $\frac{f(x+t)-f(x)}t$ . On note alors cette limite

, et

.
$\bullet\$ L'application qui à une application différentiable en

associe sa différentielle en

est une application linéaire de l'espace vectoriel des applications de

dans

différentiables en

dans l'espace vectoriel des applications linéaires de

dans

.
$\bullet\$ Une application linéaire continue

est différentiable en tout point

Démonstration: Un peu laborieux mais rien de bien difficile, en notant $\epsilon (x,h)=f(x+h)-f(x)-Df(x)(h)$ , pour suffisamment petit pour que appartienne à . $\sqcap$ $\sqcup$

Définition Soient et des espaces vectoriels normés et ouvert de . de dans est de classe si elle est différentiable et si l'application qui à associe la différentielle de en est continue (voir pour un rappel de la topologie usuelle sur ${\cal L}(E,F)$ ) .

Proposition $\bullet\$ Si est constante sa dérivée est nulle partout, est .
$\bullet\$ Si $\phi$ de dans est linéaire continue, alors $\phi$ est avec $D\phi(x)=\phi$ , pour tout .
$\bullet\$ Si de $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ dans est multilinéaire continue, alors est , et on a

$\displaystyle Df(x_1,...,x_n)(h_1,...,h_n)=\sum_{i=1}^n f(x_1,x_2,...,x_{i-1},h_i,x_{i+1},...,x_n)$

Démonstration: pas dur, tout ça ! $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Différentielle de fonctions composées] Soit , et des espaces vectoriels normés , et et des ouverts de et respectivement. Si de dans est différentiable en et de dans est différentiable en , alors la composée $g \circ f$ est différentiable en et a pour différentielle

$\displaystyle D(g \circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x)$

sont

alors $g \circ f$ est

. Démonstration: on écrit comme pour d'autres preuves $f(x+h)=f(x)+Df(x)(h)+\epsilon (h)\parallel h \parallel$ , et de même

, et on calcule...
Pour voir que la composée est

, il suffit de voir que la différentielle est la composée de

fonctions continues. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Isomorphisme d'espaces normés] Un isomorphisme de l'espace vectoriel normé sur l'espace vectoriel normé est une application $\phi : E \rightarrow F$ linéaire continue et bijective d'inverse continue. On note le sous-ensemble de ${\cal L}(E,F)$ formé des isomorphismes de dans .

Théorème Soient et des espaces de Banach. Le sous-ensemble est ouvert dans ${\cal L}(E,F)$ . L'application $inv:Isom(E,F) \rightarrow Isom(F,E)$ qui à associe $u^{-1}$ est avec $Dinv(u)(v)=-u^{-1}.v.u^{-1}$ . Démonstration: Soit un isomorphisme de vers ; alors $u_0+v=u_0.(Id+u_0^{-1}.v)$ . Si $\parallel v \parallel < \parallel u_0^{-1} \parallel^{-1}$ , on a $\parallel u_0^{-1}.v \parallel v \parallel < 1$ , et donc la série

$\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} (-u_0^{-1}.v)^i$

est convergente dans ${\cal L}(E,F)$ et donne un inverse à $(Id+u_0^{-1}.v)$ .
Donc pour $\parallel v \parallel < \parallel u_0^{-1} \parallel^{-1}$ , l'inverse de

est $\sum_{i=0}^{+\infty} (-u_0^{-1}.v)^n.u_0^{-1}$ .
On a alors $(u_0+v)^{-1}=u_0^{-1}-u_0^{-1}.v.u_0^{-1}+\sum_{i=2}^{+\infty} (-u_0^{-1}.v)^i.u_0^{-1}$ ; or la quantité $\frac{(-u_0^{-1}.v)^i.u_0^{-1}}{\parallel v \parallel}$ tend vers 0 quand

tend vers 0. L'application

est continue comme composée de fonctions continues, comme on s'en convaincra aisément. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition [Liens entre différentiabilité Banach sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$ ] Un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel peut aussi être considéré comme un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel ; il suffit de restreindre le produit par un scalaire à un produit par un scalaire réel. En remplaçant et en tant que $\mathbb{C}$ -espaces vectoriels par et en tant que $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels , une fonction différentiable pour $\mathbb{C}$ est différentiable pour $\mathbb{R}$ ; par contre la réciproque n'est pas garantie dans le cas général; il faut que la différentielle sur $\mathbb{R}$ soit définie et que la différentielle sur $\mathbb{R}$ soit linéaire et continue en tant qu'application entre $\mathbb{C}$ -espaces vectoriels (c'est à dire appartienne à ${\cal L}_{\mathbb{C}}(E,F)$ ).