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Généralités

Définition Soient $ E$ et $ F$ des espaces vectoriels normés et $ U$ un ouvert de $ E$. Soit une application $ f:U\rightarrow F$, on dit que $ f$ est différentiable (ou dérivable) en $ x \in U$ s'il existe une application linéaire continue $ \phi$ de $ E$ dans $ F$ telle que

$\displaystyle lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)-\phi(h)}{\parallel h \parallel} = 0$

On appelle $ \phi$ la différentielle ou dérivée de $ f$ en $ x$, on la note $ Df(x)$.
$ f$ est dite différentiable si elle est différentiable en tout point de $ U$.

Proposition $ \bullet\ $Si $ f$ est dérivable en $ x$, alors $ f$ est continue en $ x$.
$ \bullet\ $La dérivée de $ f$ est unique et

$\displaystyle Df(x)(h)=lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x+t.h)-f(x)}t$

$ \bullet\ $La notion de dérivée ne dépend que des topologies et pas des normes (du moment qu'elles définissent la même topologie); si deux normes sont équivalentes, alors une fonction différentiable pour l'une est différentiable pour l'autre, et la différentielle est la même.
$ \bullet\ $ $ D({\lambda}f + \mu g)(x)={\lambda}Df(x) + \mu Dg(x)$
$ \bullet\ $Si $ E=K$ corps associé aux espaces vectoriels $ E$ et $ F$, alors la différentiabilité équivaut à l'existence de la limite pour $ t \rightarrow 0$ de $ \frac{f(x+t)-f(x)}t$. On note alors cette limite $ f'(x)$, et $ Df(x)(t)=t.f'(x)$.
$ \bullet\ $L'application qui à une application différentiable en $ x_0$ associe sa différentielle en $ X_0$ est une application linéaire de l'espace vectoriel des applications de $ E$ dans $ F$ différentiables en $ x_0$ dans l'espace vectoriel des applications linéaires de $ E$ dans $ F$.
$ \bullet\ $Une application linéaire continue $ f$ est différentiable en tout point $ x_0$ et $ Df(x_0)(h)=f(h)$.

Démonstration: Un peu laborieux mais rien de bien difficile, en notant $ \epsilon (x,h)=f(x+h)-f(x)-Df(x)(h)$, pour $ h$ suffisamment petit pour que $ x+h$ appartienne à $ U$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Soient $ E$ et $ F$ des espaces vectoriels normés et $ U$ ouvert de $ E$. $ f$ de $ U$ dans $ F$ est de classe $ C^1$ si elle est différentiable et si l'application qui à $ x$ associe la différentielle de $ f$ en $ x$ est continue (voir [*] pour un rappel de la topologie usuelle sur $ {\cal L}(E,F)$) .

Proposition $ \bullet\ $Si $ f$ est constante sa dérivée est nulle partout, $ f$ est $ C^1$.
$ \bullet\ $Si $ \phi$ de $ E$ dans $ F$ est linéaire continue, alors $ \phi$ est $ C^1$ avec $ D\phi(x)=\phi$, pour tout $ x$.
$ \bullet\ $Si $ f$ de $ E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ dans $ F$ est multilinéaire continue, alors $ f$ est $ C^1$, et on a

$\displaystyle Df(x_1,...,x_n)(h_1,...,h_n)=\sum_{i=1}^n f(x_1,x_2,...,x_{i-1},h_i,x_{i+1},...,x_n)$

Démonstration: pas dur, tout ça !$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Différentielle de fonctions composées] Soit $ E$,$ F$ et $ G$ des espaces vectoriels normés , et $ U$ et $ V$ des ouverts de $ E$ et $ F$ respectivement. Si $ f$ de $ U$ dans $ V$ est différentiable en $ x$ et $ g$ de $ V$ dans $ G$ est différentiable en $ f(x)$, alors la composée $ g \circ f$ est différentiable en $ x$ et a pour différentielle

$\displaystyle D(g \circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x)$

Si $ g$ et $ f$ sont $ C^1$ alors $ g \circ f$ est $ C^1$. Démonstration: on écrit comme pour d'autres preuves $ f(x+h)=f(x)+Df(x)(h)+\epsilon (h)\parallel h \parallel$, et de même $ g((f(x)+k)$, et on calcule...
Pour voir que la composée est $ C^1$, il suffit de voir que la différentielle est la composée de $ 3$ fonctions continues.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Isomorphisme d'espaces normés] Un isomorphisme de l'espace vectoriel normé $ E$ sur l'espace vectoriel normé $ F$ est une application $ \phi : E \rightarrow F$ linéaire continue et bijective d'inverse continue. On note $ Isom(E,F)$ le sous-ensemble de $ {\cal L}(E,F)$ formé des isomorphismes de $ E$ dans $ F$.

Théorème Soient $ E$ et $ F$ des espaces de Banach. Le sous-ensemble $ Isom(E,F)$ est ouvert dans $ {\cal L}(E,F)$. L'application $ inv:Isom(E,F) \rightarrow Isom(F,E)$ qui à $ u$ associe $ u^{-1}$ est $ C^1$ avec $ Dinv(u)(v)=-u^{-1}.v.u^{-1}$. Démonstration: Soit $ u_0$ un isomorphisme de $ E$ vers $ F$; alors $ u_0+v=u_0.(Id+u_0^{-1}.v)$. Si $ \parallel v \parallel < \parallel u_0^{-1} \parallel^{-1}$, on a $ \parallel u_0^{-1}.v \parallel v \parallel < 1$, et donc la série

$\displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} (-u_0^{-1}.v)^i$

est convergente dans $ {\cal L}(E,F)$ et donne un inverse à $ (Id+u_0^{-1}.v)$.
Donc pour $ \parallel v \parallel < \parallel u_0^{-1} \parallel^{-1}$, l'inverse de $ u_0+v$ est $ \sum_{i=0}^{+\infty} (-u_0^{-1}.v)^n.u_0^{-1}$.
On a alors $ (u_0+v)^{-1}=u_0^{-1}-u_0^{-1}.v.u_0^{-1}+\sum_{i=2}^{+\infty} (-u_0^{-1}.v)^i.u_0^{-1}$; or la quantité $ \frac{(-u_0^{-1}.v)^i.u_0^{-1}}{\parallel v \parallel}$ tend vers 0 quand $ v$ tend vers 0. L'application $ Dinv$ est continue comme composée de fonctions continues, comme on s'en convaincra aisément.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Liens entre différentiabilité Banach sur $ \mathbb{R}$ et sur $ \mathbb{C}$] Un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel peut aussi être considéré comme un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel ; il suffit de restreindre le produit par un scalaire à un produit par un scalaire réel. En remplaçant $ E$ et $ F$ en tant que $ \mathbb{C}$-espaces vectoriels par $ E$ et $ F$ en tant que $ \mathbb{R}$-espaces vectoriels , une fonction différentiable pour $ \mathbb{C}$ est différentiable pour $ \mathbb{R}$; par contre la réciproque n'est pas garantie dans le cas général; il faut que la différentielle sur $ \mathbb{R}$ soit définie et que la différentielle sur $ \mathbb{R}$ soit linéaire et continue en tant qu'application entre $ \mathbb{C}$-espaces vectoriels (c'est à dire appartienne à $ {\cal L}_{\mathbb{C}}(E,F)$).

Démonstration: Sans grande difficulté, et laissée au lecteur.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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