Définition
Soient et des espaces vectoriels normés et un ouvert de . Soit une application
, on dit que est différentiable (ou dérivable) en s'il existe une application linéaire continue de dans telle que
On appelle la différentielle ou dérivée de en , on la note .
est dite différentiable si elle est différentiable en tout point de .
PropositionSi est dérivable en , alors est continue en .
La dérivée de est unique et
La notion de dérivée ne dépend que des topologies et pas des normes (du moment
qu'elles définissent la même topologie); si deux normes sont équivalentes, alors une fonction différentiable pour l'une est différentiable pour l'autre, et la différentielle est la même.
Si corps associé aux espaces vectoriels et , alors la différentiabilité équivaut à l'existence de la limite pour
de
. On note alors cette limite , et
.
L'application qui à une application différentiable en associe sa différentielle en est une application linéaire de l'espace vectoriel des applications de dans différentiables en dans l'espace vectoriel des applications linéaires de dans .
Une application linéaire continue est différentiable en tout point et
.
Démonstration:Un peu laborieux mais rien de bien difficile, en notant
, pour suffisamment petit pour que appartienne à .
Définition
Soient et des espaces vectoriels normés et ouvert de . de dans est de classe si elle est différentiable et si l'application qui à associe la différentielle de en est continue (voir pour un rappel de la topologie usuelle sur
) .
PropositionSi est constante sa dérivée est nulle partout, est .
Si de dans est linéaire continue, alors est avec
, pour tout .
Si de
dans est multilinéaire continue, alors est , et on a
Démonstration:pas dur, tout ça !
Théorème [Différentielle de fonctions composées]
Soit , et des espaces vectoriels normés , et et des ouverts de et respectivement. Si de dans est différentiable en et de dans est différentiable en , alors la composée est différentiable en et a pour différentielle
Si et sont alors est .
Démonstration:on écrit comme pour d'autres preuves
,
et de même
, et on calcule...
Pour voir que la composée est , il suffit de voir que la différentielle est la composée de fonctions continues.
Définition [Isomorphisme d'espaces normés]
Un isomorphisme de l'espace vectoriel normé sur l'espace vectoriel normé est une application
linéaire continue et bijective d'inverse continue. On note le sous-ensemble de
formé des isomorphismes de dans .
Théorème
Soient et des espaces de Banach. Le sous-ensemble est ouvert dans
. L'application
qui à associe est
avec
.
Démonstration:Soit un isomorphisme de vers ; alors
. Si
, on a
, et donc la série
est convergente dans
et donne un inverse à
.
Donc pour
, l'inverse de
est
.
On a alors
; or la quantité
tend vers 0 quand tend vers 0. L'application est continue comme composée de fonctions continues, comme on s'en convaincra aisément.
Proposition [Liens entre différentiabilité Banach sur
et sur
]
Un
-espace vectoriel peut aussi être considéré comme un
-espace vectoriel ; il suffit de restreindre le produit par un scalaire à un produit par un scalaire réel. En remplaçant et en tant que
-espaces vectoriels par et en tant que
-espaces vectoriels , une fonction différentiable pour
est différentiable pour
; par contre la réciproque n'est pas garantie dans le cas général; il faut que la différentielle sur
soit définie et que la différentielle sur
soit linéaire et continue en tant qu'application entre
-espaces vectoriels (c'est à dire appartienne à
).
Démonstration:Sans grande difficulté, et laissée au lecteur.