Proposition
Soit une application de dans
, avec , et des espaces vectoriels normés , et soient et ses composantes. Alors est différentiable en si et seulement si et sont différentiables en , et
.
En outre, est si et seulement si et sont .
Démonstration:Il suffit de voir que les projections canoniques de sur et sont car linéaires et continues, et que l'injection canonique de dans ou de dans sont linéaires continues, donc elles aussi .
Corollaire [Formule de Leibnitz]
Si
et
sont différentiables en et
et de
dans est bilinéaire continue, alors
est différentiable en et