Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
161 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Applications à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés next up previous index
suivant: Applications de plusieurs variables monter: Introduction précédent: Généralités   Index

Applications à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés

Proposition Soit $ f$ une application de $ E$ dans $ F_1 \times F_2$, avec $ E$, $ F_1$ et $ F_2$ des espaces vectoriels normés , et soient $ f_1$ et $ f_2$ ses composantes. Alors $ f$ est différentiable en $ x$ si et seulement si $ f_1$ et $ f_2$ sont différentiables en $ x$, et $ Df(x)(h)=(Df_1(x)(h),Df_2(x)(h))$.
En outre, $ f$ est $ C^1$ si et seulement si $ f_1$ et $ f_2$ sont $ C^1$.

Démonstration: Il suffit de voir que les projections canoniques de $ F$ sur $ F_1$ et $ F_2$ sont $ C^1$ car linéaires et continues, et que l'injection canonique de $ F_1$ dans $ F$ ou de $ F_2$ dans $ F$ sont linéaires continues, donc elles aussi $ C^1$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Formule de Leibnitz] Si $ f_1 : U \rightarrow F_1$ et $ f_2 : U \rightarrow F_2$ sont différentiables en $ x$ et $ B : F_1 \times F_2 \rightarrow G$ et $ B$ de $ F_1 \times F_2$ dans $ G$ est bilinéaire continue, alors $ B(f_1,f_2) : x \mapsto B(f_1(x),f_2(x))$ est différentiable en $ x$ et

$\displaystyle DB(f_1,f_2)(x)(h)=B(f_1(x),Df_2(x)(h))+B(Df_1(x)(h),f_2(x))$

En outre si $ f_1$ et $ f_2$ sont $ C_1$ alors $ B(f_1,f_2)$ est $ C^1$.


next up previous index
suivant: Applications de plusieurs variables monter: Introduction précédent: Généralités   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page