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Applications à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés

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Applications à valeurs dans un produit d'espaces vectoriels normés

Proposition Soit une application de dans $F_1 \times F_2$ , avec , et des espaces vectoriels normés , et soient et ses composantes. Alors est différentiable en si et seulement si et sont différentiables en , et .
En outre, est si et seulement si et sont .

Démonstration: Il suffit de voir que les projections canoniques de sur et sont car linéaires et continues, et que l'injection canonique de dans ou de dans sont linéaires continues, donc elles aussi . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Formule de Leibnitz] Si $f_1 : U \rightarrow F_1$ et $f_2 : U \rightarrow F_2$ sont différentiables en et $B : F_1 \times F_2 \rightarrow G$ et de $F_1 \times F_2$ dans est bilinéaire continue, alors $B(f_1,f_2) : x \mapsto B(f_1(x),f_2(x))$ est différentiable en et