Proposition [Définition des dérivées partielles]
Soit un ouvert du produit
de deux espaces vectoriels normés , soit
, avec espace vectoriel normé , et différentiable en
. Alors les deux applications partielles
et
sont différentiables respectivement en et .
On note les deux différentielles obtenues respectivement et , ou bien
et
, et on les appelles respectivement première dérivée partielle et deuxième dérivée partielle. On a alors
On peut généraliser de même à un produit fini d'espaces vectoriels normés ;
si est différentiable en
, alors pour tout dans est différentiable en , sa
différentielle en est noté
, et
Démonstration:Facile!
Il n'y a pas de réciproque dans le cas général! Même si toutes les dérivées partielles sont définies la différentielle n'est pas nécéssairement définie. Par contre si les différentielles partielles sont continues alors on peut conclure que est différentiable et même (voir partie ).
Théorème
Soit un espace de Banach , un ouvert de et
des espaces de Banach . Soit
de dans
.
On note
.
Alors est différentiable en si et seulement si chacune des application
de dans est différentiable en
et on a alors
Démonstration:Le sens "seulement si" est clair; une composée d'applications différentiables
est différentiable.
Le sens "si" et l'égalité annoncée s'obtiennent simplement en considérant
avec
.
Définition
Eventuellement on peut avoir ouvert de
et
; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme:
Si , la matrice jacobienne est carrée, on peut donc considérer son déterminant,
appelé jacobien de .