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Applications de plusieurs variables et dérivées partielles

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Applications de plusieurs variables et dérivées partielles

Proposition [Définition des dérivées partielles] Soit

un ouvert du produit $E_1 \times E_2$ de deux espaces vectoriels normés , soit $f:U\rightarrow F$ , avec

espace vectoriel normé , et

différentiable en

. Alors les deux applications partielles $x_1 \mapsto f(x_1,a_2)$ et $x_2 \mapsto f(a_1,x_2)$ sont différentiables respectivement en

. On note les deux différentielles obtenues respectivement et , ou bien $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ et $\frac{\partial f}{\partial x_2}$ , et on les appelles respectivement première dérivée partielle et deuxième dérivée partielle. On a alors

$\displaystyle Df(a_1,a_2)(h_1,h_2)=D_1f(a_1,a_2)(h_1)+D_2f(a_1,a_2)(h_2)$

On peut généraliser de même à un produit fini d'espaces vectoriels normés ; si

est différentiable en

, alors pour tout

dans

$x \mapsto f(a_1,...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_n)$ est différentiable en

, sa différentielle en

est noté $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ , et

$\displaystyle Df(a_1,...,a_n)(h_1,...,h_n)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)(h_i)$

Démonstration: Facile! $\sqcap$ $\sqcup$

Il n'y a pas de réciproque dans le cas général! Même si toutes les dérivées partielles sont définies la différentielle n'est pas nécéssairement définie. Par contre si les différentielles partielles sont continues alors on peut conclure que est différentiable et même (voir partie ).

Théorème Soit un espace de Banach , un ouvert de et des espaces de Banach . Soit de dans $F_1 \times ... \times F_n$ .
On note .
Alors est différentiable en si et seulement si chacune des application de dans $y \mapsto p_i(f(x))$ est différentiable en et on a alors

$\displaystyle Df(x)(h)=(Df_1(x)(h_1),Df_2(x)(h_2),...,Df_n(x)(h_n))$

Démonstration: $\bullet\$ Le sens "seulement si" est clair; une composée d'applications différentiables est différentiable.
$\bullet\$ Le sens "si" et l'égalité annoncée s'obtiennent simplement en considérant

$\displaystyle f=\sum_{i=1}^n u_i \circ f_i$

avec

. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition Eventuellement on peut avoir ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $F=\mathbb{R}^m$ ; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \f... ...{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\ \end{array}\right)$