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Applications de plusieurs variables et dérivées partielles

Proposition [Définition des dérivées partielles] Soit $ U$ un ouvert du produit $ E_1 \times E_2$ de deux espaces vectoriels normés , soit $ f:U\rightarrow F$, avec $ F$ espace vectoriel normé , et $ f$ différentiable en $ a=(a_1,a_2)$. Alors les deux applications partielles $ x_1 \mapsto f(x_1,a_2)$ et $ x_2 \mapsto f(a_1,x_2)$ sont différentiables respectivement en $ a_1$ et $ a_2$. On note les deux différentielles obtenues respectivement $ D_1f(a_1,a_2)$ et $ D_2f(a_1,a_2)$, ou bien $ \frac{\partial f}{\partial x_1}$ et $ \frac{\partial f}{\partial x_2}$, et on les appelles respectivement première dérivée partielle et deuxième dérivée partielle. On a alors

$\displaystyle Df(a_1,a_2)(h_1,h_2)=D_1f(a_1,a_2)(h_1)+D_2f(a_1,a_2)(h_2)$

On peut généraliser de même à un produit fini d'espaces vectoriels normés ; si $ f$ est différentiable en $ (a_1,a_2,...,a_n)$, alors pour tout $ i$ dans $ [1,n]$ $ x \mapsto f(a_1,...,a_{i-1},x,a_{i+1},...,a_n)$ est différentiable en $ a_i$, sa différentielle en $ a_i$ est noté $ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$, et

$\displaystyle Df(a_1,...,a_n)(h_1,...,h_n)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)(h_i)$

Démonstration: Facile!$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Il n'y a pas de réciproque dans le cas général! Même si toutes les dérivées partielles sont définies la différentielle n'est pas nécéssairement définie. Par contre si les différentielles partielles sont continues alors on peut conclure que $ f$ est différentiable et même $ C^1$ (voir partie [*]).

Théorème Soit $ E$ un espace de Banach , $ U$ un ouvert de $ E$ et $ F_1,...,F_n$ des espaces de Banach . Soit $ f$ de $ U$ dans $ F_1 \times ... \times F_n$.
On note $ p_i(x_1,...,x_n)=x_i$.
Alors $ f$ est différentiable en $ x$ si et seulement si chacune des application $ f_i$ de $ E$ dans $ F_i$ $ y \mapsto p_i(f(x))$ est différentiable en $ x$ et on a alors

$\displaystyle Df(x)(h)=(Df_1(x)(h_1),Df_2(x)(h_2),...,Df_n(x)(h_n))$

Démonstration: $ \bullet\ $Le sens "seulement si" est clair; une composée d'applications différentiables est différentiable.
$ \bullet\ $Le sens "si" et l'égalité annoncée s'obtiennent simplement en considérant

$\displaystyle f=\sum_{i=1}^n u_i \circ f_i$

avec $ u_i(x)=(0,...,0,x,0,,,0)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Eventuellement on peut avoir $ U$ ouvert de $ \mathbb{R}^n$ et $ F=\mathbb{R}^m$; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \f...
...{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\
\end{array}\right)$

Si $ n=m$, la matrice jacobienne est carrée, on peut donc considérer son déterminant, appelé jacobien de $ f$.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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