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Résultats principaux

Définition Soient $ a$ et $ b$ dans $ \mathbb{R}$, avec $ a < b$, et $ F$ un espace vectoriel normé . Une application $ f$ de $ [a,b]$ dans $ F$ est dite dérivable à droite en $ x$ appartenant à $ [a,b[$ si la limite à droite $ lim_{h\rightarrow 0, h >0} \frac{f(x+h)-f(x)}h$ existe; on l'appelle alors dérivée à droite de $ f$ en $ x$.

Théorème [Théorème des accroissements finis] Soient $ a$ et $ b$ dans $ \mathbb{R}$ avec $ a < b$, et $ F$ un espace vectoriel normé . On suppose que les deux fonctions $ f:[a,b] \rightarrow F$ et $ g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sont continues sur $ [a,b]$ et dérivables à droite sur $ [a,b]\setminus D$ avec $ D$ au plus dénombrable. Si, pour tout $ t \in [a,b] \setminus D$ on a $ \parallel f_d'(t) \parallel \leq g_d'(t)$, alors $ \parallel f(b) -f(a) \parallel \leq g(b)-g(a)$. Démonstration: $ \bullet\ $On note $ D=\{d_1,d_2,d_3,...\}$ avec $ d_i<d_{i+1}$
$ \bullet\ $On se donne $ \epsilon >0$.
$ \bullet\ $On considère $ E$ l'ensemble des $ x$ tels que

$\displaystyle {\parallel}f(x)-f(a) {\parallel}> g(x)-g(a) +\epsilon .(x-a)+\epsilon .\sum_{d_i<x} \frac1{2^i}$     (1.1)


$ \bullet\ $$ E$ est ouvert
$ \bullet\ $Soit $ x_0$ la borne inf de $ E$
$ \bullet\ $$ x_0>a$, car pour $ x$ assez petit, l'inégalité [*] est fausse
$ \bullet\ $ $ x_0 \not \in E$, car $ E$ est ouvert; donc
$\displaystyle {\parallel}f(x_0) -f(a) {\parallel}\leq g(x)-g(a) +\epsilon .(x-a)+\epsilon .\sum_{d_i<x} \frac1{2^i}$     (1.2)


$ \bullet\ $ $ x_0 \neq b$, car $ E$ est ouvert et n'est donc pas réduit à un singleton
$ \bullet\ $On va maintenant distinguer deux cas, selon que $ c$ appartienne à $ D$ ou non.
- Si $ x_0 \in D$, alors $ x_0=d_{i_0}$ pour un certain $ i_0$. Alors par continuité pour $ x>x_0$ suffisamment proche de $ x_0$, on a
$\displaystyle {\parallel}f(x)-f(x_0) {\parallel}\leq g(x)-g(a)+\epsilon .(x-c)+\epsilon .2^{-i_0}$     (1.3)

(par continuité). Or pour $ x>x_0$ on a
$\displaystyle \sum_{d_i<x} \frac{\epsilon }{2^i} \geq \epsilon .2^{-i_0}+\epsilon \sum_{d_i <x_0} 2^{-i}$     (1.4)

. En sommant [*], [*] et [*], on obtient que $ x$ ne vérifie par [*] pour $ x$ assez proche de $ x_0$ suffisamment proche de $ x_0$; ce qui est contradictoire avec $ E$ ouvert.
- Si $ x_0 \not \in D$, par hypothèse $ {\parallel}f_d'(x_0) {\parallel}\leq g_d'(x_0)$. Donc pour $ x$ suffisamment proche de $ x_0$ et $ x>x_0$ on a

$\displaystyle \frac 1{x-x_0} {\parallel}f(x)-f(x_0) {\parallel}\leq \frac1{x-x_0} g(x)-g(x_0) +\epsilon $

et donc

$\displaystyle {\parallel}f(x)-f(x_0) {\parallel}\leq g(x)-g(x_0) + \epsilon .(x-x_0)$

en additionnant avec [*] on obtient alors que $ x \not \in E$ pour $ x$ suffisamment proche de $ x_0$ et $ x>x_0$; ce qui est contradictoire puisque $ E$ est ouvert.
$ \bullet\ $On a alors montré que $ E$ est vide, et donc il suffit de faire tendre $ \epsilon $ vers 0 pour avoir le résultat désiré.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire On a le même résultat en remplaçant les dérivées à droite par les dérivées à gauche.

Démonstration: Facile, en remplaçant $ x$ par $ -x$ !$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Une fonction continue de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé dont la dérivée existe et est nulle sauf sur un ensemble au plus dénombrable est constante.

Démonstration: Facile!$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... on utilise le théorème des accroissements finis pour les théorèmes [*], [*], [*], [*], [*], [*].

On l'utilise aussi pour montrer qu'une fonction dérivable à dérivée bornée est lipschitzienne, ou bien qu'une fonction $ C^1$ est localement lipschitzienne $ \to$ applications aux équations différentielles.

Proposition Une fonction $ f$ continue de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ dont la dérivée existe et est positive sauf sur un ensemble au plus dénombrable est croissante.

Démonstration: L'astuce réside dans le fait que la fonction $ f$ dont il est question ici doit jouer le rôle de la fonction $ g$ du théorème des accroissements finis! On utilise pour $ f$ une fonction nulle, donc de dérivée nulle; on considère une fonction $ g$ de dérivée positive, et le tour est joué!$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Inégalité des accroissements finis $ f$ définie de l'ouvert $ U$ de l'espace vectoriel normé $ E$ et à valeurs dans l'espace vectoriel normé $ F$. Si $ f$ est dérivable et si le segment $ [x,y]$ est inclus dans $ U$, alors

$\displaystyle \parallel f(y)-f(x) \parallel \leq \parallel y - x \parallel .sup_{z \in [x,y]} \parallel Df(z) \parallel$

Démonstration: Si le $ sup$ est infini il n'y a rien à prouver. Sinon on considère la fonction $ \theta$ qui à un réel $ t$ compris entre 0 et $ 1$ associe $ {\parallel}y - x {\parallel}.(sup_{z\in[x,y]} {\parallel}Df(z){\parallel}).t$; $ \theta$ est dérivable, en tout point, de dérivée constante égale à $ {\parallel}y - x {\parallel}.(sup_{z\in[x,y]} {\parallel}Df(z){\parallel})$, que l'on va noter $ C$. L'application $ \phi$ qui à $ t \in [0,1]$ associe $ f((1-t).x + t.y)$ est dérivable en tout point de $ [0,1]$, de dérivée $ Df((1-t).x + t.y)(y-x)$. La norme de cette dérivée est majorée par $ \theta'$, donc par $ C$. On peut donc majorer $ {\parallel}\phi(1)-\phi(0) {\parallel}$ par $ \theta(1)-\theta(0)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Une application définie sur un ouvert $ U$ de l'espace vectoriel normé $ E$ à valeurs dans l'espace vectoriel normé $ F$ dérivable et de dérivée nulle est localement constante. Si $ U$ est connexe, $ f$ est constante.

Trois corollaires (pour le deuxième il faut un peu y réfléchir, pour le troisième c'est une conséquence du second):

Corollaire En définissant la distance entre deux points d'un ouvert connexe comme la longueur inf d'une ligne brisée entre ces deux points (voir la partie topologie pour vérifier qu'un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs et que toute paire de points dans un tel ensemble peut être reliée par une ligne brisée), et en supposant que $ f$ est une application de cet ouvert dans un espace vectoriel normé différentiable telle que pour tout $ x$ $ {\parallel}f'(x) {\parallel}\leq k$, alors $ {\parallel}f(b)-f(a) {\parallel}$ est inférieur ou égal à $ k$ fois la distance de $ a$ à $ b$.

Définition Une application localement lipschitzienne est une application entre espaces métriques telle que pour tout $ x$ il existe un voisinage de $ x$ sur lequel la restriction de $ f$ est lipschitzienne.

Corollaire Une application de classe $ C^1$ est localement lipschitzienne.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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