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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Résultats principaux

suivant: Applications : interversion de monter: Le théorème des accroissements précédent: Le théorème des accroissements Index

Résultats principaux

Définition Soient

dans $\mathbb{R}$ , avec

, et

un espace vectoriel normé

. Une application

dans

est dite dérivable à droite

appartenant à

si la limite à droite $lim_{h\rightarrow 0, h >0} \frac{f(x+h)-f(x)}h$ existe; on l'appelle alors dérivée à droite de

Théorème [Théorème des accroissements finis] Soient et dans $\mathbb{R}$ avec , et un espace vectoriel normé . On suppose que les deux fonctions $f:[a,b] \rightarrow F$ et $g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ sont continues sur et dérivables à droite sur $[a,b]\setminus D$ avec au plus dénombrable. Si, pour tout $t \in [a,b] \setminus D$ on a $\parallel f_d'(t) \parallel \leq g_d'(t)$ , alors $\parallel f(b) -f(a) \parallel \leq g(b)-g(a)$ . Démonstration: $\bullet\$ On note $D=\{d_1,d_2,d_3,...\}$ avec $d_i<d_{i+1}$
$\bullet\$ On se donne $\epsilon >0$ .
$\bullet\$ On considère l'ensemble des tels que

$\displaystyle {\parallel}f(x)-f(a) {\parallel}> g(x)-g(a) +\epsilon .(x-a)+\epsilon .\sum_{d_i<x} \frac1{2^i}$

(1.1)

$\bullet\$

est ouvert
$\bullet\$ Soit

la borne inf de

$\bullet\$

, car pour

assez petit, l'inégalité

est fausse
$\bullet\$ $x_0 \not \in E$ , car

est ouvert; donc

$\displaystyle {\parallel}f(x_0) -f(a) {\parallel}\leq g(x)-g(a) +\epsilon .(x-a)+\epsilon .\sum_{d_i<x} \frac1{2^i}$

(1.2)

$\bullet\$ $x_0 \neq b$ , car

est ouvert et n'est donc pas réduit à un singleton
$\bullet\$ On va maintenant distinguer deux cas, selon que

appartienne à

ou non.
- Si $x_0 \in D$ , alors $x_0=d_{i_0}$ pour un certain

. Alors par continuité pour

suffisamment proche de

, on a

$\displaystyle {\parallel}f(x)-f(x_0) {\parallel}\leq g(x)-g(a)+\epsilon .(x-c)+\epsilon .2^{-i_0}$

(1.3)

(par continuité). Or pour

on a

$\displaystyle \sum_{d_i<x} \frac{\epsilon }{2^i} \geq \epsilon .2^{-i_0}+\epsilon \sum_{d_i <x_0} 2^{-i}$

(1.4)

. En sommant

, on obtient que

ne vérifie par

pour

assez proche de

suffisamment proche de

; ce qui est contradictoire avec

ouvert

.
- Si $x_0 \not \in D$ , par hypothèse ${\parallel}f_d'(x_0) {\parallel}\leq g_d'(x_0)$ . Donc pour

suffisamment proche de

on a

$\displaystyle \frac 1{x-x_0} {\parallel}f(x)-f(x_0) {\parallel}\leq \frac1{x-x_0} g(x)-g(x_0) +\epsilon$

et donc

$\displaystyle {\parallel}f(x)-f(x_0) {\parallel}\leq g(x)-g(x_0) + \epsilon .(x-x_0)$

en additionnant avec

on obtient alors que $x \not \in E$ pour

suffisamment proche de

; ce qui est contradictoire puisque

est ouvert.
$\bullet\$ On a alors montré que

est vide, et donc il suffit de faire tendre $\epsilon$ vers 0 pour avoir le résultat désiré. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire On a le même résultat en remplaçant les dérivées à droite par les dérivées à gauche.

Démonstration: Facile, en remplaçant par ! $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé dont la dérivée existe et est nulle sauf sur un ensemble au plus dénombrable est constante.

Démonstration: Facile! $\sqcap$ $\sqcup$

on utilise le théorème des accroissements finis pour les théorèmes , , , , , .

On l'utilise aussi pour montrer qu'une fonction dérivable à dérivée bornée est lipschitzienne, ou bien qu'une fonction est localement lipschitzienne $\to$ applications aux équations différentielles.

Proposition Une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ dont la dérivée existe et est positive sauf sur un ensemble au plus dénombrable est croissante.

Démonstration: L'astuce réside dans le fait que la fonction dont il est question ici doit jouer le rôle de la fonction du théorème des accroissements finis! On utilise pour une fonction nulle, donc de dérivée nulle; on considère une fonction de dérivée positive, et le tour est joué! $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Inégalité des accroissements finis définie de l'ouvert de l'espace vectoriel normé et à valeurs dans l'espace vectoriel normé . Si est dérivable et si le segment est inclus dans , alors

$\displaystyle \parallel f(y)-f(x) \parallel \leq \parallel y - x \parallel .sup_{z \in [x,y]} \parallel Df(z) \parallel$

Démonstration: Si le est infini il n'y a rien à prouver. Sinon on considère la fonction $\theta$ qui à un réel compris entre 0 et associe ${\parallel}y - x {\parallel}.(sup_{z\in[x,y]} {\parallel}Df(z){\parallel}).t$ ; $\theta$ est dérivable, en tout point, de dérivée constante égale à ${\parallel}y - x {\parallel}.(sup_{z\in[x,y]} {\parallel}Df(z){\parallel})$ , que l'on va noter . L'application $\phi$ qui à $t \in [0,1]$ associe est dérivable en tout point de , de dérivée . La norme de cette dérivée est majorée par $\theta'$ , donc par . On peut donc majorer ${\parallel}\phi(1)-\phi(0) {\parallel}$ par $\theta(1)-\theta(0)$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Une application définie sur un ouvert de l'espace vectoriel normé à valeurs dans l'espace vectoriel normé dérivable et de dérivée nulle est localement constante. Si est connexe, est constante.

Trois corollaires (pour le deuxième il faut un peu y réfléchir, pour le troisième c'est une conséquence du second):

Corollaire En définissant la distance entre deux points d'un ouvert connexe comme la longueur inf d'une ligne brisée entre ces deux points (voir la partie topologie pour vérifier qu'un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs et que toute paire de points dans un tel ensemble peut être reliée par une ligne brisée), et en supposant que est une application de cet ouvert dans un espace vectoriel normé différentiable telle que pour tout ${\parallel}f'(x) {\parallel}\leq k$ , alors ${\parallel}f(b)-f(a) {\parallel}$ est inférieur ou égal à fois la distance de à .

Définition Une application localement lipschitzienne est une application entre espaces métriques telle que pour tout il existe un voisinage de sur lequel la restriction de est lipschitzienne.

Corollaire Une application de classe est localement lipschitzienne.