Définition
Soient et dans
, avec , et un espace vectoriel normé . Une application de dans est dite dérivable à droite en appartenant à si la limite à droite
existe; on l'appelle alors dérivée à droite de en .
Théorème [Théorème des accroissements finis]
Soient et dans
avec , et un espace vectoriel normé . On suppose que les deux fonctions
et
sont continues sur et dérivables à droite
sur
avec au plus dénombrable. Si, pour tout
on a
, alors
.
Démonstration:On note
avec
On se donne
.
On considère l'ensemble des tels que
(1.1)
est ouvert
Soit la borne inf de , car pour assez petit, l'inégalité est fausse
, car est ouvert; donc
(1.2)
, car est ouvert et n'est donc pas réduit à un singleton
On va maintenant distinguer deux cas, selon que appartienne à ou non.
- Si , alors
pour un certain . Alors par continuité
pour suffisamment proche de , on a
(1.3)
(par continuité). Or pour on a
(1.4)
. En sommant , et , on obtient que ne vérifie par pour assez proche de suffisamment proche de ; ce qui est contradictoire avec ouvert.
- Si
, par hypothèse
. Donc
pour suffisamment proche de et on a
et donc
en additionnant avec on obtient alors que
pour suffisamment proche de et ; ce qui est contradictoire puisque est ouvert.
On a alors montré que est vide, et donc il suffit de faire tendre vers 0 pour avoir le résultat désiré.
Corollaire
On a le même résultat en remplaçant les dérivées à droite par les dérivées à gauche.
Démonstration:Facile, en remplaçant par !
Corollaire
Une fonction continue de
dans un espace vectoriel normé dont la dérivée existe et est nulle sauf sur un ensemble au plus dénombrable est constante.
Démonstration:Facile!
on utilise le théorème des accroissements finis pour les théorèmes , , , , , .
On l'utilise aussi pour montrer qu'une fonction dérivable à dérivée bornée est lipschitzienne, ou bien qu'une fonction est localement lipschitzienne applications aux équations différentielles.
Proposition
Une fonction continue de
dans
dont la dérivée existe et est positive sauf sur un ensemble au plus dénombrable est croissante.
Démonstration:L'astuce réside dans le fait que la fonction dont il est question ici doit jouer le rôle de la fonction du théorème des accroissements finis! On utilise pour une fonction nulle, donc de dérivée nulle; on considère une fonction de dérivée positive, et le tour est joué!
CorollaireInégalité des accroissements finis définie de l'ouvert de l'espace vectoriel normé et à valeurs dans l'espace vectoriel normé . Si est dérivable et si le segment est inclus dans , alors
Démonstration:Si le est infini il n'y a rien à prouver. Sinon on considère la fonction qui à un réel compris entre 0 et associe
; est dérivable, en tout point, de dérivée constante égale à
, que l'on va noter . L'application qui à
associe
est dérivable en tout point de , de dérivée
. La norme de cette dérivée est majorée par , donc par . On peut donc majorer
par
.
Corollaire
Une application définie sur un ouvert de l'espace vectoriel normé à valeurs dans l'espace vectoriel normé dérivable et de dérivée nulle est localement constante. Si est connexe, est constante.
Trois corollaires (pour le deuxième il faut un peu y réfléchir, pour le troisième
c'est une conséquence du second):
Corollaire
En définissant la distance entre deux points d'un ouvert connexe comme la longueur inf d'une ligne brisée entre ces deux points (voir la partie topologie pour vérifier qu'un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs et que toute paire de points dans un tel ensemble peut être reliée par une ligne brisée), et en supposant que est une application de cet ouvert dans un espace vectoriel normé différentiable telle que pour tout , alors
est inférieur ou égal à fois la distance de à .
Définition
Une application localement lipschitzienne est une application entre espaces métriques
telle que pour tout il existe un voisinage de sur lequel la restriction de est
lipschitzienne.
Corollaire
Une application de classe est localement lipschitzienne.