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Applications : interversion de limite et de dérivation

Définition [Convergence uniforme, rappel] Une suite d'applications $ f_n$ de $ X$ dans $ Y$ avec $ X$ et $ Y$ espaces métriques converge uniformément vers $ f$ application de $ X$ dans $ Y$ si

$\displaystyle lim_{n \rightarrow + \infty} sup_{x \in X} d(f_n(x),f(x)) = 0$

Proposition Si les $ f_n$ sont continues et convergent uniformément vers $ f$ alors $ f$ est continue.

Démonstration:

$\displaystyle d(f(x),f(y)) \leq d(f(x),f_n(x)) + d(f_n(x),f_n(y)) + d(f_n(y)-f(y)$

Etant donné $ \epsilon $ l suffit alors de prendre $ n$ assez grand et $ x$ et $ y$ assez proches pour que $ f(x)-f(y)\leq \epsilon $.$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... Ce résultat servira par exemple pour le théorème [*], ou le théorème [*].

Théorème On suppose $ E$ et $ F$ des espaces vectoriels normés , $ U$ ouvert de $ E$, $ f_n$ une suite d'applications de $ U$ dans $ F$ différentiables, $ f_n$ convergeant simplement vers $ f$, les $ Df_n$ convergeant uniformément vers une certaine application $ g$ de $ U$ dans $ {\cal L}(E,F)$,
alors :
$ \bullet\ $$ f$ est différentiable et $ Df=g$
$ \bullet\ $Pour tout $ C$ convexe et borné inclus dans $ U$ la convergence de $ {f_n}_{\vert C}$ vers $ f_{\vert C}$ est uniforme
$ \bullet\ $Si les $ f_n$ sont $ C^1$ alors $ f$ est $ C^1$.
Démonstration: laborieuse, mais pas vraiment difficile; il suffit d'écrire $ \epsilon _n=sup_{x \in U} {\parallel}Df_n(x)-g(x) {\parallel}$, avec $ \epsilon _n$ tendant vers 0 lorsque $ n$ tend vers l'infini, et de montrer que $ sup_{y \in C} {\parallel}f(y)-f_n(y) {\parallel}\leq {\parallel}f(x) -f_n(x) {\parallel}+ \epsilon _n.D$ avec $ D$ le diamètre de $ C$ pour voir la deuxième propriété; la première propriété se montre facilement à partir de là, et la troisième est un corollaire de la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire On suppose $ U$ connexe ouvert de $ E$ et $ f_n$ de $ U$ dans $ F$ dérivable; $ E$ et $ F$ sont des espaces vectoriels normés , et $ F$ est complet (donc $ F$ est un Banach). On suppose qu'il existe $ x_0$ tel que $ f_n(x_0)$ converge, et que pour tout $ x$ il existe $ V_x$ voisinage de $ x$ tel que la suite des $ {Df_n}_{\vert V_x}$ soit de Cauchy pour la métrique $ d$ définie par

$\displaystyle d(f,g) = sup_{z \in V_x} {\parallel}f(z)-g(z){\parallel}$

(c'est à dire que la suite des $ Df_n$ converge normalement sur un certain voisinage de tout point)
Alors il existe $ f$ de $ U$ dans $ F$ tel que:
$ \bullet\ $$ f$ est dérivable en tout point
$ \bullet\ $la suite des $ f_n$ converge vers $ f$ (simplement)
$ \bullet\ $tout $ x$ possède un voisinage $ V_x$ tel que les convergences de $ f_n$ et $ Df_n$ restreints à $ V_x$ soient uniformes.
$ \bullet\ $Si les $ f_n$ sont $ C^1$, $ f$ l'est aussi.

Démonstration: On définit l'ensemble $ A$ des $ z$ tels que $ f_n(z)$ converge. Etant donné $ x$ on considère un voisinage $ V_x$ de $ x$ convexe et vérifiant l'hypothèse sur le critère de Cauchy (on peut toujours imposer $ V_x$ convexe en le restreignant à une boule).
On définit alors $ \alpha _{n,m}=sup_{z \in V_x} {\parallel}Df_n(z)-Df_m(z) {\parallel}$; par hypothèse, $ \alpha _{n,m}$ tend vers 0 quand $ n$ et $ m$ tendent vers l'infini. Si $ V_x\cap A \neq \emptyset$, alors soit $ x'$ dans $ V_x \cap A$. Par convexité de $ V_x$, on peut écrire pour tout $ y$ dans $ V_x$:

$\displaystyle {\parallel}[f_m(y)-f_n(y)] - [f_m(x)-f_n(x)] {\parallel}\leq \alpha _{n,m}.{\parallel}y - x' {\parallel}$

or $ f_n(x')$ est une suite de Cauchy (comme toute suite convergente dans un métrique), donc $ f_n(y)$ est une suite de Cauchy, et donc converge. Donc si $ V_x\cap A \neq \emptyset$, $ V_x \subset A$. Donc soit $ V_x \subset A$, soit $ V_x \subset A^c$, donc $ A$ et $ A^c$ sont ouverts. $ A$ étant non vide et $ U$ étant connexe, $ A=U$. On a donc montré la deuxième assertion.
$ {\cal L}(E,F)$ est complet pour la norme uniforme puisque $ F$ l'est; donc la suite des dérivées sur $ V_x$ converge uniformément. En appliquant le théorème précédent, on voit que $ f$ est dérivable de dérivée la limite des dérivées; en supposant $ V_x$ borné on a alors $ {f_n}_{\vert V_n} \rightarrow f_{\vert V_x}$ uniformément, toujours par le théorème précédent.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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