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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

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Nains magiques

Applications : interversion de limite et de dérivation

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Applications : interversion de limite et de dérivation

Définition [Convergence uniforme, rappel] Une suite d'applications de dans avec et espaces métriques converge uniformément vers application de dans si

$\displaystyle lim_{n \rightarrow + \infty} sup_{x \in X} d(f_n(x),f(x)) = 0$

Proposition Si les sont continues et convergent uniformément vers alors est continue.

Démonstration:

$\displaystyle d(f(x),f(y)) \leq d(f(x),f_n(x)) + d(f_n(x),f_n(y)) + d(f_n(y)-f(y)$

Etant donné $\epsilon$ l suffit alors de prendre

assez grand et

assez proches pour que $f(x)-f(y)\leq \epsilon$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Ce résultat servira par exemple pour le théorème

, ou le théorème

Théorème On suppose et des espaces vectoriels normés , ouvert de , une suite d'applications de dans différentiables, convergeant simplement vers , les convergeant uniformément vers une certaine application de dans ${\cal L}(E,F)$ ,
alors :
$\bullet\$ est différentiable et
$\bullet\$ Pour tout convexe et borné inclus dans la convergence de ${f_n}_{\vert C}$ vers $f_{\vert C}$ est uniforme
$\bullet\$ Si les sont alors est .
Démonstration: laborieuse, mais pas vraiment difficile; il suffit d'écrire $\epsilon _n=sup_{x \in U} {\parallel}Df_n(x)-g(x) {\parallel}$ , avec $\epsilon _n$ tendant vers 0 lorsque tend vers l'infini, et de montrer que $sup_{y \in C} {\parallel}f(y)-f_n(y) {\parallel}\leq {\parallel}f(x) -f_n(x) {\parallel}+ \epsilon _n.D$ avec le diamètre de pour voir la deuxième propriété; la première propriété se montre facilement à partir de là, et la troisième est un corollaire de la proposition . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire On suppose connexe ouvert de et de dans dérivable; et sont des espaces vectoriels normés , et est complet (donc est un Banach). On suppose qu'il existe tel que converge, et que pour tout il existe voisinage de tel que la suite des ${Df_n}_{\vert V_x}$ soit de Cauchy pour la métrique définie par

$\displaystyle d(f,g) = sup_{z \in V_x} {\parallel}f(z)-g(z){\parallel}$

(c'est à dire que la suite des

converge normalement sur un certain voisinage de tout point

)
Alors il existe

dans

tel que:
$\bullet\$

est dérivable en tout point
$\bullet\$ la suite des

converge vers

(simplement)
$\bullet\$ tout

possède un voisinage

tel que les convergences de

restreints à

soient uniformes

.
$\bullet\$ Si les

sont

l'est aussi.

Démonstration: On définit l'ensemble des tels que converge. Etant donné on considère un voisinage de convexe et vérifiant l'hypothèse sur le critère de Cauchy (on peut toujours imposer convexe en le restreignant à une boule).
On définit alors $\alpha _{n,m}=sup_{z \in V_x} {\parallel}Df_n(z)-Df_m(z) {\parallel}$ ; par hypothèse, $\alpha _{n,m}$ tend vers 0 quand et tendent vers l'infini. Si $V_x\cap A \neq \emptyset$ , alors soit dans $V_x \cap A$ . Par convexité de , on peut écrire pour tout dans :

$\displaystyle {\parallel}[f_m(y)-f_n(y)] - [f_m(x)-f_n(x)] {\parallel}\leq \alpha _{n,m}.{\parallel}y - x' {\parallel}$

est une suite de Cauchy (comme toute suite convergente dans un métrique

), donc

est une suite de Cauchy, et donc converge. Donc si $V_x\cap A \neq \emptyset$ , $V_x \subset A$ . Donc soit $V_x \subset A$ , soit $V_x \subset A^c$ , donc