Applications : interversion de limite et de dérivation
Définition [Convergence uniforme, rappel]
Une suite d'applications de dans avec et espaces métriques converge uniformément vers
application de dans si
Proposition
Si les sont continues et convergent uniformément vers alors est continue.
Démonstration:
Etant donné l suffit alors de prendre assez grand et et assez proches
pour que
. Ce résultat servira par exemple pour le théorème , ou le théorème .
Théorème
On suppose et des espaces vectoriels normés , ouvert de , une suite d'applications de dans différentiables, convergeant simplement vers , les convergeant uniformément vers une certaine application de dans
,
alors :
est différentiable et Pour tout convexe et borné inclus dans la convergence de
vers est uniforme
Si les sont alors est .
Démonstration:laborieuse, mais pas vraiment difficile; il suffit d'écrire
, avec
tendant vers 0 lorsque tend vers l'infini, et de montrer
que
avec le diamètre de pour voir la deuxième propriété; la première propriété se montre
facilement à partir de là, et la troisième est un corollaire de la proposition
.
Corollaire
On suppose connexe ouvert de et de dans dérivable; et sont des espaces vectoriels normés , et est complet (donc est un Banach). On suppose qu'il existe tel que converge, et que pour tout il existe voisinage de tel que la suite des
soit de Cauchy pour la métrique définie par
(c'est à dire que la suite des converge normalement sur un certain voisinage de tout point)
Alors il existe de dans tel que:
est dérivable en tout point
la suite des converge vers (simplement)
tout possède un voisinage tel que les convergences de et
restreints à soient uniformes.
Si les sont , l'est aussi.
Démonstration:On définit l'ensemble des tels que converge. Etant donné on considère un voisinage de convexe et vérifiant l'hypothèse sur le critère de Cauchy (on peut toujours imposer convexe en le restreignant à une boule).
On définit alors
; par hypothèse,
tend vers 0 quand et tendent vers l'infini. Si
, alors
soit dans
. Par convexité de , on peut écrire pour tout dans :
or est une suite de Cauchy (comme toute suite convergente dans un métrique), donc
est une suite de Cauchy, et donc converge. Donc si
,
. Donc soit
, soit
, donc et sont ouverts.
étant non vide et étant connexe, . On a donc montré la deuxième assertion.
est complet pour la norme uniforme puisque l'est; donc la suite des dérivées sur converge uniformément. En appliquant le théorème précédent, on voit que est dérivable de dérivée la limite des dérivées; en supposant borné on a alors
uniformément, toujours par le théorème précédent.