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Applications : dérivées partielles et dérivées

suivant: Théorème d'inversion locale et monter: Le théorème des accroissements précédent: Applications : interversion de Index

Applications : dérivées partielles et dérivées

Proposition , , ... , et des espaces vectoriels normés ; un ouvert de $E=\Pi_i E_i$ , une application de dans ; alors si les $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ existent sur un voisinage de et sont continues en , alors est différentiable en .

Démonstration: $\bullet\$ Il est suffisant de montrer que

$\displaystyle {\parallel}f(x_1,...,x_n)-f(a_1,...,a_n) - \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).(x_i-a){\parallel}= o({\parallel}x-a {\parallel})$

pour tout

$\bullet\$ Pour cela on décompose $f(x_1,...,x_n)-f(a_1,...,a_n) - \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).(x_i-a)$ en

$\displaystyle f(x_1,...,x_n)-f(a_1,x_2,...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a).(x_1-a_1)$

$\displaystyle +f(a_1,x_2,...,x_n)-f(a_1,a_2,x_3,...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_2}(a).(x_2-a_2)$

$\displaystyle +...$

$\displaystyle +f(a_1,a_2,...,a_i,x_{i+1},...,x_n)-f(a_1,...,a_{i+1},x_{i+2},...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_{i+1}}(a).(x_{i+1}-a_{i+1})$

$\displaystyle +...$

$\displaystyle +f(a_1,a_2,...,a_{n-1},x_n)-f(a_1,...,a_n)-\frac{\partial f}{\partial x_n}(a).(x_n-a_n)$

$\bullet\$ Il suffit ensuite de montrer que pour tendant vers , $f(a_1,a_2,...,a_{i-1},x_i,...,x_n)-f(a_1,...,a_i,x_{i+1},...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(a).(x_i-a_i)$ est un . (ensuite il suffira de sommer)

$\bullet\$ Le fait ci-dessus provient des accroissements finis ET de la continuité de la -ième dérivée partielle (en effet une application directe des accroissements finis donnent un pour

$\displaystyle f(a_1,...,a_{i-1},x_i,...,x_n)-f(a_1,...,a_i,x_{i+1},...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,...,a_i,x_{i+1},...,x_n).(x_i-a_i)$

(la différentielle n'est pas prise là où il faudrait qu'elle le soit) $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème , , ... , et des espaces vectoriels normés ; un ouvert de $E=\Pi E_i$ , alors application de dans est si et seulement si les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ de existent et sont continues sur . Démonstration: Il est clair que si est , alors les dérivées partielles existent et sont continues. La réciproque, utilisant la proposition précédente, ne présente pas de difficulté majeure. $\sqcap$ $\sqcup$