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Applications : dérivées partielles et dérivées

Proposition $ E_1$, $ E_2$, ... , $ E_n$ et $ F$ des espaces vectoriels normés ; $ U$ un ouvert de $ E=\Pi_i E_i$, $ f$ une application de $ U$ dans $ F$; alors si les $ \frac{\partial f}{\partial x_i}$ existent sur un voisinage de $ x$ et sont continues en $ x$, alors $ f$ est différentiable en $ x$.

Démonstration: $ \bullet\ $Il est suffisant de montrer que

$\displaystyle {\parallel}f(x_1,...,x_n)-f(a_1,...,a_n) - \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).(x_i-a){\parallel}= o({\parallel}x-a {\parallel})$

pour tout $ (a_1,...,a_n)$ de $ U$.

$ \bullet\ $Pour cela on décompose $ f(x_1,...,x_n)-f(a_1,...,a_n) - \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a).(x_i-a)$ en

$\displaystyle f(x_1,...,x_n)-f(a_1,x_2,...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_1}(a).(x_1-a_1)$

$\displaystyle +f(a_1,x_2,...,x_n)-f(a_1,a_2,x_3,...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_2}(a).(x_2-a_2)$

$\displaystyle +...$

$\displaystyle +f(a_1,a_2,...,a_i,x_{i+1},...,x_n)-f(a_1,...,a_{i+1},x_{i+2},...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_{i+1}}(a).(x_{i+1}-a_{i+1})$

$\displaystyle +...$

$\displaystyle +f(a_1,a_2,...,a_{n-1},x_n)-f(a_1,...,a_n)-\frac{\partial f}{\partial x_n}(a).(x_n-a_n)$

$ \bullet\ $Il suffit ensuite de montrer que pour $ x_i$ tendant vers $ a_i$, $ f(a_1,a_2,...,a_{i-1},x_i,...,x_n)-f(a_1,...,a_i,x_{i+1},...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(a).(x_i-a_i)$ est un $ o(x_i-a_i)$. (ensuite il suffira de sommer)

$ \bullet\ $Le fait ci-dessus provient des accroissements finis ET de la continuité de la $ i$-ième dérivée partielle (en effet une application directe des accroissements finis donnent un $ o(x_i-a_i)$ pour

$\displaystyle f(a_1,...,a_{i-1},x_i,...,x_n)-f(a_1,...,a_i,x_{i+1},...,x_n)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,...,a_i,x_{i+1},...,x_n).(x_i-a_i)$

(la différentielle n'est pas prise là où il faudrait qu'elle le soit) $ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème $ E_1$, $ E_2$, ... , $ E_n$ et $ F$ des espaces vectoriels normés ; $ U$ un ouvert de $ E=\Pi E_i$, alors $ f$ application de $ U$ dans $ F$ est $ C^1$ si et seulement si les dérivées partielles $ \frac{\partial f}{\partial x_i}$ de $ f$ existent et sont continues sur $ U$. Démonstration: Il est clair que si $ f$ est $ C^1$, alors les dérivées partielles existent et sont continues. La réciproque, utilisant la proposition précédente, ne présente pas de difficulté majeure.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On pourra par exemple trouver une application dans la partie[*].


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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