Proposition, , ... , et des espaces vectoriels normés ; un ouvert de
, une application de dans ; alors si les
existent sur un voisinage de et sont continues en , alors est différentiable en .
Démonstration:Il est suffisant de montrer que
pour tout
de .
Pour cela on décompose
en
Il suffit ensuite de montrer que pour tendant vers ,
est un
.
(ensuite il suffira de sommer)
Le fait ci-dessus provient des accroissements finis ET de la continuité
de la -ième dérivée partielle (en effet une application directe des accroissements finis donnent un
pour
(la différentielle n'est pas prise là où il faudrait qu'elle le soit)
Théorème, , ... , et des espaces vectoriels normés ; un ouvert de , alors
application de dans est si et seulement si les dérivées partielles de existent et sont continues sur .
Démonstration:Il est clair que si est , alors les dérivées partielles existent et sont
continues. La réciproque, utilisant la proposition précédente, ne présente pas de
difficulté majeure.
On pourra par exemple trouver une application dans la partie.