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Suites de fonctions mesurables

Théorème $ (X,{\cal A})$ mesurable, $ f_k$ de $ X$ quelconque dans $ Y$ métrique, telle que pour tout $ x$ $ f_k(x) \rightarrow f(x)$. Alors $ f$ est mesurable.

Démonstration: Soit $ U$ un ouvert de $ Y$, et $ U_n$ l'ensemble des $ u$ tels que $ d(x,Y \setminus U)> 1/n$, et soit $ F_n$ l'ensemble des $ u$ tels que $ d(x,Y \setminus U) \geq 1/n$.
On montre facilement que $ U_n$ est ouvert et que $ F_n$ est fermé.
L'union des $ U_n$ est $ U$ car $ U$ est ouvert.
L'union des $ F_n$ est donc $ U$ aussi. (voir figure [*])

$\displaystyle f^{-1}(U)$

$\displaystyle =\cup_n f^{-1}(U_n)$

$\displaystyle =\cup_n \{u / lim_{k \rightarrow +\infty} f_k(u) \in U_n\}$

$\displaystyle \subset \cup_n \{u / \exists K / k \geq K \rightarrow f_k(u) \in U_n \}$

car $ U_n$ est un ouvert.

$\displaystyle \subset \cup_n \cup_K \cap_{k\geq K} f_k^{-1}(U_n) \in {\cal A}$

Considérons maintenant

$\displaystyle \cup_n \cup_K \cap_{k\geq K} f_k^{-1}(U_n)$

$\displaystyle \subset \cup_n \cup_K \cap_{k \geq K} f_k^{-1}(F_n)$

or $ u \in \cup_K \cap_{k \geq K} f_k^{-1}(F_n)$ si et seulement si

$\displaystyle \exists K / \forall k \geq K, f_k(u) \in F_n$

donc

$\displaystyle \subset \cup_n f^{-1}(F_n) = f^{-1}(\cup F_n)= f^{-1}(F_n)=f^{-1}(U)$

donc $ f^{-1}(U) \in {\cal A}$, donc $ f$ est mesurable.$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Illustration de la preuve de la mesurabilité de la limite simple d'une suite de fonctions mesurables.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{limmes.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Corollaire $ f_k$ suite de fonctions mesurables de $ (X,{\cal A})$ dans $ [0,+\infty]$ ou $ \overline {\mathbb{R}}$, alors $ lim_{n \rightarrow +\infty} sup_{k\geq n} f_k$ et $ lim_{n \rightarrow +\infty} inf_{k\geq n} f_k$ existent et sont mesurables.

Démonstration: Rappelons simplement qu'une fonction monotone a nécéssairement une limite dans $ \mathbb{R}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Si pour tout $ n\in \mathbb{N}$ $ f_n$ est mesurable de $ X$ dans $ \overline {\mathbb{R}}$, alors $ sup_{n \in \mathbb{N}} f_n$ est mesurable.

Démonstration: Il suffit de considérer les images réciproques d'ensembles de la forme $ ]a,+\infty]$ par les $ f_n$. Plus précisément, fixons $ a$, et considérons $ E_n=f_n^{-1}(]a,+\infty[)$. Avec $ f=sup f_n$, $ E=f^{-1}(]a,\infty[)$ est égal à $ \cup E_n$, et donc est mesurable. Les boréliens sont engendrés par les intervalles $ ]a,+\infty[$; donc $ f$ est bien mesurable.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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