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Fonctions étagées et fonctions simples

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Sous-sections

$\boxcircle$ Définitions et généralités
$\boxcircle$ Intégration des fonctions simples

Fonctions étagées et fonctions simples

$\boxcircle$ Définitions et généralités

Définition Une fonction est dite étagée si elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Une fonction simple est une application de dans $[0,\infty[$ mesurable et étagée.

Si est simple, $\alpha _1$ ,..., $\alpha _n$ ses valeurs, $A_i=\{x/s(x)=\alpha _i\}=s^{-1}(\{\alpha _i\})$ , alors $s=\sum_i \alpha _i 1_{\vert A_i}$ .

Notons que les sont des boréliens, en tant qu'image inverse de borélien, pour peu que la fonction soit mesurable.

L'écriture de est unique si on a:
$\bullet$ $\alpha _i \neq \alpha _j$ si $i \neq j$
$\bullet$ $A_i \neq \emptyset$
$\bullet$ $A_i \cap A_j= \emptyset$ si $i \neq j$
$\bullet$ $\cup_i A_i=X$

Proposition Si est une fonction mesurable de dans $[0,+\infty[$ , alors il existe une suite croissante de fonctions simples qui converge simplement vers .

Démonstration:

Etant donné $n\in \mathbb{N}$ , on considére les segments $S_i=[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}[$ , pour variant de 0 à . Il suffit alors de considérer la somme des $\frac{i}{2^n}\chi_{f^{-1}(S_i)}$ pour dans . $\sqcap$ $\sqcup$

Pour la suite de notre propos, on devra utiliser une multiplication dans $[0,+\infty[$ , prolongeant la multiplication usuelle, et vérifiant $0.\infty=0$ . Attention, ce produit n'est pas continu.

$\boxcircle$ Intégration des fonctions simples

Définition $s=\sum \alpha _i 1_{\vert A_i}$ avec la condition d'unicité donnée ci-dessus, alors on appelle intégrale sur $E \in {\cal A}$ de pour la mesure $\mu$

$\displaystyle \int_E s.d\mu= \sum \alpha _i \mu(A_i \cap E)$

Lemme Supposons et deux fonctions simples vérifiant les conditions d'unicité. Alors:
$\bullet$ Si $s \leq t$ , alors $\int_E s d\mu \leq \int_E t d\mu$
$\bullet$ additivité: $\int_E (s+t)d\mu = \int_E s d\mu + \int_E t d\mu$
$\bullet$ $\int_E s d\mu = \int_E s d\mu$
$\bullet$ $c < +\infty$ $\rightarrow$ $\int c.s d\mu = c \int s d\mu$
$\bullet$ La fonction de ${\cal A}$ dans $[0,+\infty]$ qui à associe l'intégrale de sur pour la mesure $\mu$ est une mesure.