Définition
Une fonction est dite étagée si elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Une fonction simple est une application de dans
mesurable et étagée.
Si est simple, ,..., ses valeurs,
,
alors
.
Notons que les sont des boréliens, en tant qu'image inverse de borélien, pour peu que la fonction soit mesurable.
L'écriture de est unique si on a:
si si
Proposition
Si est une fonction mesurable de dans
, alors il existe
une suite croissante de fonctions simples qui converge simplement vers .
Démonstration:
Etant donné
, on considére les segments
, pour variant de 0 à . Il suffit alors de considérer la somme des
pour dans .
Pour la suite de notre propos, on devra utiliser une multiplication dans
,
prolongeant la multiplication usuelle, et vérifiant
. Attention,
ce produit n'est pas continu.
Définition avec la condition d'unicité donnée ci-dessus,
alors on appelle intégrale sur
de pour la mesure
Lemme
Supposons et deux fonctions simples vérifiant les conditions d'unicité. Alors:
Si , alors
additivité:
La fonction de dans
qui à associe l'intégrale de sur pour la mesure est une mesure.