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Sous-sections

Fonctions étagées et fonctions simples

$ \boxcircle $ Définitions et généralités

Définition Une fonction est dite étagée si elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Une fonction simple est une application $ s$ de $ X$ dans $ [0,\infty[$ mesurable et étagée.

Si $ s$ est simple, $ \alpha _1$,...,$ \alpha _n$ ses valeurs, $ A_i=\{x/s(x)=\alpha _i\}=s^{-1}(\{\alpha _i\})$, alors $ s=\sum_i \alpha _i 1_{\vert A_i}$.

Notons que les $ A_i$ sont des boréliens, en tant qu'image inverse de borélien, pour peu que la fonction $ s$ soit mesurable.

L'écriture de $ s$ est unique si on a:
$ \bullet $ $ \alpha _i \neq \alpha _j$ si $ i \neq j$
$ \bullet $ $ A_i \neq \emptyset$
$ \bullet $ $ A_i \cap A_j= \emptyset$ si $ i \neq j$
$ \bullet $ $ \cup_i A_i=X$

Proposition Si $ f$ est une fonction mesurable de $ X$ dans $ [0,+\infty[$, alors il existe une suite croissante $ s_n$ de fonctions simples qui converge simplement vers $ f$.

Démonstration:

Etant donné $ n\in \mathbb{N}$, on considére les segments $ S_i=[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}[$, pour $ i$ variant de 0 à $ n2^n$. Il suffit alors de considérer la somme $ f_n$ des $ \frac{i}{2^n}\chi_{f^{-1}(S_i)}$ pour $ i$ dans $ [0,n2^n]$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Pour la suite de notre propos, on devra utiliser une multiplication dans $ [0,+\infty[$, prolongeant la multiplication usuelle, et vérifiant $ 0.\infty=0$. Attention, ce produit n'est pas continu.

$ \boxcircle $ Intégration des fonctions simples

Définition $ s=\sum \alpha _i 1_{\vert A_i}$ avec la condition d'unicité donnée ci-dessus, alors on appelle intégrale sur $ E \in {\cal A}$ de $ s$ pour la mesure $ \mu$

$\displaystyle \int_E s.d\mu= \sum \alpha _i \mu(A_i \cap E)$

Lemme Supposons $ s$ et $ t$ deux fonctions simples vérifiant les conditions d'unicité. Alors:
$ \bullet $Si $ s \leq t$, alors $ \int_E s d\mu \leq \int_E t d\mu$
$ \bullet $additivité: $ \int_E (s+t)d\mu = \int_E s d\mu + \int_E t d\mu$
$ \bullet $ $ \int_E s d\mu = \int_E s d\mu$
$ \bullet $ $ c < +\infty$ $ \rightarrow$ $ \int c.s d\mu = c \int s d\mu$
$ \bullet $La fonction de $ {\cal A}$ dans $ [0,+\infty]$ qui à $ E$ associe l'intégrale de $ s$ sur $ E$ pour la mesure $ \mu$ est une mesure.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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