Définition mesurable
On appelle intégrale de sur de pour
où désigne l'ensemble des fonctions simples plus petites ( ou égale ) que .
Rmq: Si est simple, alors cette définition coïncide avec la précédente.
La notation désigne
.
Propriétés, avec et positives mesurables:
Théorème [Théorème de convergence monotone, dit aussi théorème de Beppo-Levi]
Soit une suite croissante de fonctions mesurables positives.
Alors est mesurable et
.
Démonstration:On procède par étapes comme suit:
On montre tout d'abord que est mesurable (considérer
).
On montre que est croisante; notons sa limite (éventuellement infinie).
par passage à la limite.
L'autre inégalité est un peu plus difficile et est illustrée par la figure .
On considère une fonction simple , notée , et un réel .
On considère l'ensemble des tels que
.
.
La réunion des est , et la réunion est dénombrable; donc
.
Par passage au on a
.
On trouvera de multiples applications à ce théorèmes, citons le lemme de Fatou , le théorème justifiant la définition des mesures images , le théorème importantissime de la convergence dominée de Lebesgue , pour le théorème de Fubini . Cela servira aussi en probabilité, avec la proposition , la proposition , les resultats sur les variables aléatoires indépendantes ; on trouvera aussi une application au théorème sur l'extinction d'un processus de branchement. Par ailleurs, on utilisera ce résultat aussi pour montrer que les espaces sont des Banach, voir corollaire .
On prendra garde à ne pas utiliser des arguments plus lourds (notamment la convergence dominée de Lebesgue) quand un résultat plus simple comme celui-ci suffit.
Figure:
Les ensembles sur lesquels dépasse la fonction simple multipliée par ont pour réunion et sont en nombre dénombrable.
Corollaire(Permutation des signes somme - intégrales)
Avec pour
mesurable positive,
Lemme [Lemme de Fatou]
Avec de vers
mesurable, on a
Démonstration:Il suffit de définir
;
est croissante; donc par le théorème de
convergence monotone.
Théorème
Pour toute fonction mesurable de dans
,
la fonction qui à un borélien associe
est une mesure sur .
En outre pour toute fonction mesurable de dans
,
.
Démonstration:Il est facile de voir que est une mesure avec les outils
que l'on s'est donnés plus haut. La suite est un peu plus laborieuse,
mais se résoud en utilisant le théorème de convergence monotone.