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Fonctions positives

Définition $ f:(X,{\cal A}) \rightarrow [0,+\infty]$ mesurable
On appelle intégrale de $ f$ sur $ E$ de $ f$ pour $ \mu$

$\displaystyle \int_E f d\mu = sup_{s \leq f} \int_E s.d\mu$

$ s \leq f$ désigne l'ensemble des fonctions simples plus petites ( ou égale ) que $ f$.

Rmq: Si $ f$ est simple, alors cette définition coïncide avec la précédente.

La notation $ \int_E f d\mu$ désigne $ \int f.\chi_E.d\mu$.

Propriétés, avec $ f$ et $ g$ positives mesurables:
$ \bullet $ $ \int f+g=\int f + \int g$
$ \bullet $ $ f \leq g \rightarrow \int f \leq \int g$
$ \bullet $ $ \int \vert a\vert.f=\vert a\vert \int f$

Théorème [Théorème de convergence monotone, dit aussi théorème de Beppo-Levi] Soit $ f_n$ une suite croissante de fonctions mesurables positives.
Alors $ f=sup f_n$ est mesurable et $ \int f = lim \int f_n$.
Démonstration: On procède par étapes comme suit:
$ \bullet $On montre tout d'abord que $ f$ est mesurable (considérer $ f^{-1}(]a,+\infty)$).
$ \bullet $On montre que $ \int f_n$ est croisante; notons $ F$ sa limite (éventuellement infinie).
$ \bullet $ $ F \leq \int f$ par passage à la limite.
L'autre inégalité est un peu plus difficile et est illustrée par la figure [*].
$ \bullet $On considère une fonction simple $ \leq f$, notée $ s$, et un réel $ a<1$.
$ \bullet $On considère $ E_n$ l'ensemble des $ x$ tels que $ a.s(x)\leq f_n(x)$.
$ \bullet $ $ \int_{E_n} a.u \leq \int_{E_n} f_n \leq \int_X f_n \leq F$.
$ \bullet $La réunion des $ E_n$ est $ X$, et la réunion est dénombrable; donc $ \int_{E_n} u$ $ \rightarrow$$ \int_X u$.
$ \bullet $Par passage au $ sup$ on a $ \int f \leq F$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On trouvera de multiples applications à ce théorèmes, citons le lemme de Fatou [*], le théorème justifiant la définition des mesures images [*], le théorème importantissime de la convergence dominée de Lebesgue [*], pour le théorème de Fubini [*]. Cela servira aussi en probabilité, avec la proposition [*], la proposition [*], les resultats sur les variables aléatoires indépendantes [*]; on trouvera aussi une application au théorème [*] sur l'extinction d'un processus de branchement. Par ailleurs, on utilisera ce résultat aussi pour montrer que les espaces $ L^p$ sont des Banach, voir corollaire [*].

Attention! On prendra garde à ne pas utiliser des arguments plus lourds (notamment la convergence dominée de Lebesgue) quand un résultat plus simple comme celui-ci suffit.

Figure: Les ensembles sur lesquels $ f_n$ dépasse la fonction simple multipliée par $ a<1$ ont pour réunion $ X$ et sont en nombre dénombrable.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{conmon.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Corollaire (Permutation des signes somme - intégrales) Avec $ f_n$ pour $ n\in \mathbb{N}$ mesurable positive, $ \int \sum f_n = \sum \int f_n$

Lemme [Lemme de Fatou] Avec $ f_n$ de $ X$ vers $ [0,+\infty]$ mesurable, on a $ \int liminf f_n \leq liminf \int f_n$

Démonstration: Il suffit de définir $ g_k=inf_{n\geq k} f_n$; $ g_k$ est croissante; donc par le théorème de convergence monotone $ \int liminf f_n = lim \int g_n=liminf \int g_n \leq liminf  \int f_n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Pour toute fonction $ f$ mesurable de $ X$ dans $ [0,+\infty]$, la fonction $ \nu$ qui à un borélien $ E$ associe $ \int_E f(x).d\mu$ est une mesure sur $ X$.
En outre pour toute fonction $ g$ mesurable de $ X$ dans $ [0,+\infty]$, $ \int g.d\nu=\int f.g.d\mu$.

Démonstration: Il est facile de voir que $ \nu$ est une mesure avec les outils que l'on s'est donnés plus haut. La suite est un peu plus laborieuse, mais se résoud en utilisant le théorème de convergence monotone. $ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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