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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Fonctions positives

suivant: Le cas général monter: Intégration - théorème de précédent: Fonctions étagées et fonctions Index

Fonctions positives

Définition $f:(X,{\cal A}) \rightarrow [0,+\infty]$ mesurable
On appelle intégrale de sur de pour $\mu$

$\displaystyle \int_E f d\mu = sup_{s \leq f} \int_E s.d\mu$

où $s \leq f$ désigne l'ensemble des fonctions simples

plus petites ( ou égale ) que

Rmq: Si est simple, alors cette définition coïncide avec la précédente.

La notation $\int_E f d\mu$ désigne $\int f.\chi_E.d\mu$ .

Propriétés, avec et positives mesurables:
$\bullet$ $\int f+g=\int f + \int g$
$\bullet$ $f \leq g \rightarrow \int f \leq \int g$
$\bullet$ $\int \vert a\vert.f=\vert a\vert \int f$

Théorème [Théorème de convergence monotone, dit aussi théorème de Beppo-Levi] Soit une suite croissante de fonctions mesurables positives.
Alors est mesurable et $\int f = lim \int f_n$ .
Démonstration: On procède par étapes comme suit:
$\bullet$ On montre tout d'abord que est mesurable (considérer $f^{-1}(]a,+\infty)$ ).
$\bullet$ On montre que $\int f_n$ est croisante; notons sa limite (éventuellement infinie).
$\bullet$ $F \leq \int f$ par passage à la limite.
L'autre inégalité est un peu plus difficile et est illustrée par la figure .
$\bullet$ On considère une fonction simple $\leq f$ , notée , et un réel .
$\bullet$ On considère l'ensemble des tels que $a.s(x)\leq f_n(x)$ .
$\bullet$ $\int_{E_n} a.u \leq \int_{E_n} f_n \leq \int_X f_n \leq F$ .
$\bullet$ La réunion des est , et la réunion est dénombrable; donc $\int_{E_n} u$ $\rightarrow$ $\int_X u$ .
$\bullet$ Par passage au on a $\int f \leq F$ . $\sqcap$ $\sqcup$

On trouvera de multiples applications à ce théorèmes, citons le lemme de Fatou , le théorème justifiant la définition des mesures images , le théorème importantissime de la convergence dominée de Lebesgue , pour le théorème de Fubini . Cela servira aussi en probabilité, avec la proposition , la proposition , les resultats sur les variables aléatoires indépendantes ; on trouvera aussi une application au théorème sur l'extinction d'un processus de branchement. Par ailleurs, on utilisera ce résultat aussi pour montrer que les espaces sont des Banach, voir corollaire .

On prendra garde à ne pas utiliser des arguments plus lourds (notamment la convergence dominée de Lebesgue) quand un résultat plus simple comme celui-ci suffit.

**Figure:** Les ensembles sur lesquels dépasse la fonction simple multipliée par ont pour réunion et sont en nombre dénombrable.
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =8cm \epsfbox{conmon.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Corollaire (Permutation des signes somme - intégrales) Avec

pour $n\in \mathbb{N}$ mesurable

positive, $\int \sum f_n = \sum \int f_n$

Lemme [Lemme de Fatou] Avec de vers $[0,+\infty]$ mesurable, on a $\int liminf f_n \leq liminf \int f_n$

Démonstration: Il suffit de définir $g_k=inf_{n\geq k} f_n$ ; est croissante; donc par le théorème de convergence monotone $\int liminf f_n = lim \int g_n=liminf \int g_n \leq liminf \int f_n$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Pour toute fonction mesurable de dans $[0,+\infty]$ , la fonction $\nu$ qui à un borélien associe $\int_E f(x).d\mu$ est une mesure sur .
En outre pour toute fonction mesurable de dans $[0,+\infty]$ , $\int g.d\nu=\int f.g.d\mu$ .

Démonstration: Il est facile de voir que $\nu$ est une mesure avec les outils que l'on s'est donnés plus haut. La suite est un peu plus laborieuse, mais se résoud en utilisant le théorème de convergence monotone. $\sqcap$ $\sqcup$