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Le cas général

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Le cas général

Définition [Fonction intégrable] Une fonction de dans $\mathbb{C}$ est dite intégrable si elle est mesurable et si $\int \vert f\vert$ est finie. On note ${\cal L}^1(X,\mathbb{C})$ l'ensemble des fonctions intégrables de dans $\mathbb{C}$ , et ${\cal L}^1(X,\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions intégrables de dans $\mathbb{R}$ . ${\cal L}^1(X)$ tout court désigne généralement ${\cal L}^1(X,\mathbb{R})$ (voir selon le contexte).

${\cal L}^1(X)$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel (on le munit de l'addition et de la multiplication par un scalaire). L'application qui à une fonction associe son intégrale est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.
${\cal L}^1(X)$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel (on le munit de l'addition et de la multiplication par un scalaire). L'application qui à une fonction associe son intégrale est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Notez que l'intégrabilité dépend de la mesure, alors que la mesurabilité ne dépend que de l'espace mesurable.

Définition [Intégrale (au sens de Lebesgue) d'une fonction intégrable] Etant donnée une fonction intégrable de dans $\mathbb{R}$ , on appelle intégrale de et on note $\int f$ le réel $\int f^+ - \int f^-$ .
Etant donnée une fonction intégrable de dans $\mathbb{C}$ , on appelle intégrale de et on note $\int f$ le complexe $\int g+i.\int h$ .

On notera bien que cette définition ne permet de définir d'intégrale que lorsque $\int \vert f\vert$ est finie. Ainsi l'intégrale d'une fonction mesurable à valeurs dans $[0,+\infty]$ est toujours définie mais la fonction n'est pas nécéssairement intégrable (lorsque l'intégrale est infinie). Et dans le cas d'une fonction Riemann-intégrable on doit résister à la tentation d'utiliser une intégrale d'une fonction pas intégrable, puisque l'intégrale de Lebesgue n'est définie que dans le cadre de fonctions intégrables.

Propriétés:
$\bullet$ Si est intégrable alors $\vert f\vert$ est intégrable et $\vert \int f \vert \leq \int \vert f\vert$ .
$\bullet$ Une fonction inférieure en module à une fonction intégrable, est intégrable.
$\bullet$ Si deux fonctions et sont intégrables et à valeurs dans $\mathbb{R}$ et si $f \leq g$ alors $\int f \leq \int g$ .

Définition [Intégrale sur une partie mesurable] Soit une partie mesurable de , et de dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , alors est dite intégrable sur si $f.\chi_E$ est intégrable, avec $\chi_E$ la fonction caractéristique de . On définit alors $\int_E f=\int f.\chi_E$ .

On peut vérifier que $\int_E f=\int f_{\vert E}$ .

Exemple important: les sommes de séries.
L'ensemble des parties de $\mathbb{N}$ est une $\sigma$ -algèbre sur $\mathbb{N}$ . On peut munir l'espace mesurable ainsi défini d'une mesure $\mu$ telle que $\mu(A)=card(A)$ si est fini et $\mu(A)=+\infty$ sinon.

On se donne alors une fonction de $\mathbb{N}$ dans $[0,+\infty[$ , c'est à dire une suite de réels positifs.
Cette fonction est évidemment mesurable.

On peut alors considérer les fonctions $f.\chi_[0,n]$ ; la suite de ces fonctions converge vers , donc par le théorème de convergence monotone, l'intégrale de sur $\mathbb{N}$ est la limite pour $\mathbb{N}$ tendant vers $+\infty$ de l'intégrale de $f.\chi_[0,n]$ . $f.\chi_[0,n]$ étant une fonction étagée, son intégrale est facile à calculer; il s'agit de la somme des pour $i\in [0,n]$ .

On peut retrouver ainsi divers résultats classiques du calcul de séries, par exemple le changement d'ordre des termes dans une série absolument convergente. On peut aussi considérer le cas des séries complexes.
Par contre, on ne peut rien faire au niveau des séries non-absolument convergentes.

Proposition $\bullet$ Une fonction mesurable de dans $[0,+\infty]$ est d'intégrale nulle si et seulement si elle est nulle presque partout.
$\bullet$ Si une fonction mesurable de dans $[0,+\infty]$ est d'intégrale finie alors elle est finie presque partout.
$\bullet$ mesurable de dans $\mathbb{C}$ ; alors $\vert \int f \vert \leq \int \vert f\vert$ , et si $\vert\int f\vert=\int \vert f\vert$ , alors il existe tel que $f=a.\vert f\vert$ presque partout.

Démonstration:
$\bullet$ le premier point est facile, il suffit de considérer les ensembles sur lesquels est supérieure à , et leur réunion dénombrable.
$\bullet$ Considérer l'ensemble des tels que $f(x)=+\infty$ et sa mesure.
$\bullet$ Considérer l'argument de l'intégrale de , et la fonction avec un complexe de module tel que $\int a.f \in \mathbb{R}^+$ . La suite est facile... $\sqcap$ $\sqcup$

On peut considérer différentes structures à l'intérieur de l'espace vectoriel ${\cal F}$ des fonctions de dans $\mathbb{R}$ :
$\bullet$ Le sous-espace vectoriel des fonctions mesurables
$\bullet$ Le sous-espace vectoriel des fonctions intégrables
$\bullet$ Le sous-espace vectoriel des fonctions nulles presque partout

La dernière propriété permet notamment de définir un espace quotient de l'espace des fonctions, par la relation d'équivalence ${\cal R}$ définie par $f {\cal R}g \iff f(x)=g(x)$ presque partout . On considère alors l'espace constitué par les classes contenant au moins une fonction intégrable. La forme linéaire qui à associe son intégrale induit une forme linéaire sur cet espace quotient (notez que deux fonctions intégrables appartenant à la même classe ont même intégrale). On peut normer cet espace par la norme suivante:

$\displaystyle \parallel f \parallel_1 = \int \vert f\vert$

La forme linéaire qui à

associe son intégrale est continue pour cette norme, et de norme $\leq 1$ , c'est à dire que $\vert\int f\vert \leq \parallel f \parallel_1 = \int \vert f\vert$ . Dans la plupart des cas, c'est à dire dès qu'il existe une partie de mesure finie non nulle, cette norme est

(on pourra s'en convaincre en considérant la fonction caractéristique d'une telle partie).

Définition On note le sous-espace des classes contenant au moins une fonction intégrable ainsi normé (ne pas confondre avec ${\cal L}^1$ ). Cette notation est dépendante du contexte; formellement il faudrait préciser l'espace de départ et l'espace d'arrivée (ce dernier étant généralement $\mathbb{C}$ , quelquefois $\mathbb{R}$ ).

Théoriquement il n'est pas possible d'écrire $\parallel f \parallel_1$ pour une fonction de dans $[0,+\infty]$ , $+\infty$ inclus; néanmoins on verra souvent cette notation pour $\int \vert f\vert$ . On se permettra ainsi de parler de la classe d'une fonction dont l'intégrale est finie, même s'il s'agit par exemple d'une fonction à valeurs dans $[0,+\infty]$ .
On assimilera souvent une fonction et sa classe, l'intégrale d'une fonction et l'intégrale d'une fonction intégrable de sa classe, etc.