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Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires

Théorème [Théorème de la convergence dominée de Lebesgue] Soit $ f_n$ de $ X$ dans $ \mathbb{C}$ pour tout $ n\in \mathbb{N}$.
Hypothèses:
$ \bullet $$ f_n$ mesurable
$ \bullet $Pour presque tout $ x$, $ f_n(x)$ converge
$ \bullet $Il existe une fonction $ g$ intégrable de $ X$ dans $ [0,+\infty]$ majorant toutes les fonctions $ f_n$.

Alors:
$ \bullet $une certaine fonction $ f$ est limite simple des $ f_n$; cette fonction est intégrable.
$ \bullet $ $ \int \vert f-f_n \vert$ $ \rightarrow$0 (convergence $ L_1$).
$ \bullet $ $ \int f_n \rightarrow \int f$ pour $ n$ $ \rightarrow$$ +\infty$
Démonstration: On passe par les étapes suivantes:
$ \bullet $Tout d'abord le cas d'une suite de fonctions tendant monotonement vers la fonction nulle (démonstration en utilisant le théorème de convergence monotone).
$ \bullet $Ensuite suite de fonctions tendant vers la fonction nulle (on se ramène au cas précédent en considérant $ g_n(x)=sup_{k \geq n} f_k(x)$.
$ \bullet $Ensuite le cas général se traite en considérant $ f-f_n$, majorée par $ 2.g$.
$ \bullet $L'assertion $ \int f_n \rightarrow \int f$ pour $ n$ $ \rightarrow$$ +\infty$ découle simplement du fait que $ \vert \int a - \int b \vert \leq \int \vert a-b\vert$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... On utilisera ce résultat très souvent, citons par exemple le corollaire ci-dessous, le théorème [*] de continuité sous le signe intégral, le théorème [*] de dérivation sous le signe intégral, le lemme de Scheffé [*], le résultat de densité [*], le contre-exemple du paragraphe [*], le théorème de Doob [*].

Corollaire Soit une suite de fonctions $ f_n$ intégrables de $ X$ dans $ \mathbb{C}$, telle que $ \sum \parallel f \parallel_1$ converge.
$ \bullet $Alors pour presque tout $ x$ on a $ \sum_n f_n(x)$ convergente vers un certain $ f(x)$.
$ \bullet $En outre $ f$ est intégrable et $ \int f = \sum_n \int f_n$.
$ \bullet $La suite $ \sum_{i=0}^n f_n$ converge vers $ f$ pour $ L_1$.

Démonstration: On considère $ g(x)=\sum_n \vert f_n(x)\vert$. Par le théorème de convergence monotone, $ \int g = \sum \int \vert f_n\vert$. On peut donc définir $ h(x)$ comme limite des fonctions $ h_n(x)=sum_{i=0}^n f_n(x)$. On a $ \vert h(x)\vert \leq g(x)$; par le théorème de convergence dominée, l'intégrale de $ f$ est égale à la limite de l'intégrale des $ h_n$, donc à la limite de la somme des $ \int f_i$ pour $ i\in [0,n]$ et la dernière assertion découle de la convergence pour $ L_1$ dans le théorème de convergence dominée.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Les espaces vectoriels normés $ L^1$ et $ L^1(\mathbb{C})$ sont complets.

Démonstration: Un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente; donc d'après le corollaire précédent, $ L^1$ et $ L^1(\mathbb{C})$ sont complets.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ Y$ un espace métrique et $ f: X \times Y \rightarrow \mathbb{C}$ une application telle que :
$ \bullet $pour tout $ y$ l'application qui à $ x$ associe $ f(x,y)$ est intégrable
$ \bullet $pour tout $ x$ appartenant à $ X-N$ avec $ N$ négligeable l'application qui à $ y$ associe $ f(x,y)$ est continue
$ \bullet $il existe $ g$ intégrale de $ X$ dans $ \mathbb{R}^+$ telle que pour tous $ x$ et $ y$ $ \vert f(x,y)\vert\leq g(x)$.
Alors l'application qui à $ y$ associe $ \int f(x,y).dx$ est continue.

Démonstration: On considère une suite $ y_n$ tendant vers $ y$, la continuité séquentielle impliquant la continuité dans un espace métrique. Il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions de la forme $ x \mapsto f(x,y_n)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ Y$ un intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$ et $ f: X \times Y \rightarrow \mathbb{C}$ une application telle que :
$ \bullet $pour tout $ y$ l'application qui à $ x$ associe $ f(x,y)$ est intégrable
$ \bullet $pour $ x \in X-N$, avec $ N$ négligeable, l'application qui à $ y$ associe $ f(x,y)$ est dérivable de dérivée $ f_2'(x,y)$
$ \bullet $Pour une certain fonction $ g$ positive $ L^1$, pour tout $ y$, $ \vert f_2'(x,y)\vert \leq g(x)$
Alors pour tout $ y$ $ x \mapsto f_2'(x,y)$ est intégrable et l'application qui à $ y$ associe $ \int f(x,y).dx$ est dérivable, de dérivée $ \int f_2'(x,y).dx$.

Démonstration: On considère $ y_n$ une suite tendant vers $ y$.
On définit $ k_n(x)=\frac{f(x,y_n)-f(x,y)}{y_n-y}$. Pour tout $ n$, $ k_n$ est intégrable.
D'après l'inégalité des accroissements finis, $ \vert k_n(x)\vert$ est majoré par le sup de $ \vert f_2'(x,.)\vert$ à son tour majoré par $ g(x)$. On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée, et déduire le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme [Lemme de Scheffé] Supposons que $ f_n$ soit une suite de fonctions $ {\cal L}^1$ de $ (S,\mu)$ dans $ \mathbb{R}$, et supposons que pour presque tout $ x$ $ f_n(x) \to f(x)$ quand $ n \to +\infty$. Alors

$\displaystyle \int \vert f_n\vert.d\mu \to \int \vert f\vert.d\mu$

si et seulement si

$\displaystyle \int \vert f_n-f\vert.d\mu \to 0$

Démonstration: La partie "si" est triviale; voyons maintenant la partie "et seulement si".
On montre d'abord le résultat pour des fonctions positives.
On suppose donc que $ \int f_n(x).d\mu(x) \to \int f(x).d\mu(x)$. Notons $ g_n=f_n-f$, et $ g_n^+$ et $ g_n^-$ les parties positives et négatives de $ g_n$. Alors:
$ \bullet $ $ g_n^+(x)\to 0$ et $ \int g_n^-(x) \to 0$ presque partout
$ \bullet $ $ g_n^- \leq f$, donc par le théorème de convergence dominée $ \int g_n^-(x).d\mu(x) \to 0$.
$ \bullet $Par ailleurs $ \int g_n^+(x) = \int f_n(x).d\mu(x) - \int f(x).d\mu(x) - \int g^-(x).d\mu(x)$ qui tend donc vers 0.
$ \bullet $On peut donc déduire par les deux points précédents que $ \int g_n.d\mu(x) \to 0$.
$ \bullet $On a donc prouvé le résultat pour des fonctions positives.
$ \bullet $On passe au cas général. $ \int \vert f_n(x)\vert.d\mu(x) \to \int \vert f(x)\vert.d\mu(x)$ signifie que

$\displaystyle \int f_n^+(x).d\mu(x)+\int f_n^-(x).d\mu(x) \to \int f^+(x).d\mu(x)+\int f^-(x).d\mu(x).$

$ \bullet $Le lemme de Fatou implique que

$\displaystyle \int liminf f_n^+.d\mu \leq liminf \int f_n^+ d\mu$

et $ \int liminf f_n^-.d\mu \leq liminf \int f_n^- d\mu$
et donc pour $ n$ assez grand

$\displaystyle \int f_n^+(x).d\mu(x)+\int f_n^-(x).d\mu(x) \geq \int f^+(x).d\mu(x)+\int f^-(x).d\mu(x).$

$ \bullet $Les résultats des deux points précédents permettent de conclure que

$\displaystyle \int f_n^+(x).d\mu(x) \to \int f^+(x).d\mu(x)$

et

$\displaystyle \int f_n^-(x).d\mu(x) \to \int f^-(x).d\mu(x)$

$ \bullet $Il ne reste plus qu'à appliquer le résultat dans le cas des fonctions positives.$ \sqcap$$ \sqcup$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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