Théorème [Théorème de la convergence dominée de Lebesgue]
Soit de dans
pour tout
.
Hypothèses:
mesurable Pour presque tout , converge Il existe une fonction intégrable de dans
majorant toutes les fonctions .
Alors:
une certaine fonction est limite simple des ;
cette fonction est intégrable.
0 (convergence ).
pour Démonstration:On passe par les étapes suivantes:
Tout d'abord le cas d'une suite de fonctions tendant monotonement vers la fonction nulle (démonstration en utilisant le théorème de convergence monotone).
Ensuite suite de fonctions tendant vers la fonction nulle (on se ramène au cas précédent en considérant
.
Ensuite le cas général se traite en considérant , majorée par .
L'assertion
pour découle simplement du fait que
.
On utilisera ce résultat très souvent, citons par exemple le corollaire ci-dessous, le théorème de continuité sous le signe intégral, le théorème de dérivation sous le signe intégral, le lemme de Scheffé , le résultat de densité , le contre-exemple du paragraphe , le théorème de Doob .
Corollaire
Soit une suite de fonctions intégrables de dans
, telle que
converge.
Alors pour presque tout on a
convergente vers un certain .
En outre est intégrable et
.
La suite
converge vers pour .
Démonstration:On considère
. Par le théorème de convergence monotone,
. On peut donc définir comme limite des fonctions
. On a
; par le théorème de convergence dominée, l'intégrale de est égale à la limite de l'intégrale des , donc à la limite de la somme des pour
et la dernière assertion découle de la convergence pour dans le théorème de convergence dominée.
Corollaire
Les espaces vectoriels normés et
sont complets.
Démonstration:Un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série normalement
convergente est convergente; donc d'après le corollaire précédent, et
sont complets.
Corollaire
Soit un espace métrique et
une application telle que :
pour tout l'application qui à associe est intégrable pour tout appartenant à avec négligeable l'application qui à associe est continue il existe intégrale de dans
telle que pour tous et .
Alors l'application qui à associe
est continue.
Démonstration:On considère une suite tendant vers , la continuité séquentielle impliquant la continuité dans un espace métrique. Il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions de la forme
.
Corollaire
Soit un intervalle ouvert de
et
une application telle que :
pour tout l'application qui à associe est intégrable
pour , avec négligeable, l'application qui à associe est dérivable de dérivée Pour une certain fonction positive , pour tout ,
Alors pour tout est intégrable et l'application qui à associe
est dérivable, de dérivée
.
Démonstration:
On considère une suite tendant vers .
On définit
. Pour tout , est intégrable.
D'après l'inégalité des accroissements finis, est majoré par le sup de
à son tour majoré par . On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée, et déduire le résultat.
Lemme [Lemme de Scheffé]
Supposons que soit une suite de fonctions
de dans
, et supposons que pour presque tout quand
. Alors
si et seulement si
Démonstration:
La partie "si" est triviale; voyons maintenant la partie "et seulement si".
On montre d'abord le résultat pour des fonctions positives.
On suppose donc que
. Notons ,
et et les parties positives et négatives de . Alors:
et
presque partout
, donc par le théorème de convergence dominée.
Par ailleurs
qui tend donc vers 0.
On peut donc déduire par les deux points précédents que
.
On a donc prouvé le résultat pour des fonctions positives.
On passe au cas général.
signifie que
Le lemme de Fatou implique que
et
et donc pour assez grand
Les résultats des deux points précédents permettent de conclure que
et
Il ne reste plus qu'à appliquer le résultat dans le cas des fonctions positives.