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Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires

Théorème [Théorème de la convergence dominée de Lebesgue] Soit

dans $\mathbb{C}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ .
Hypothèses:
$\bullet$

mesurable

$\bullet$ Pour presque tout

converge

$\bullet$ Il existe une fonction

intégrable

dans $[0,+\infty]$ majorant toutes les fonctions

Alors:
$\bullet$ une certaine fonction est limite simple des ; cette fonction est intégrable.
$\bullet$ $\int \vert f-f_n \vert$ $\rightarrow$ 0 (convergence ).
$\bullet$ $\int f_n \rightarrow \int f$ pour $\rightarrow$ $+\infty$
Démonstration: On passe par les étapes suivantes:
$\bullet$ Tout d'abord le cas d'une suite de fonctions tendant monotonement vers la fonction nulle (démonstration en utilisant le théorème de convergence monotone).
$\bullet$ Ensuite suite de fonctions tendant vers la fonction nulle (on se ramène au cas précédent en considérant $g_n(x)=sup_{k \geq n} f_k(x)$ .
$\bullet$ Ensuite le cas général se traite en considérant , majorée par .
$\bullet$ L'assertion $\int f_n \rightarrow \int f$ pour $\rightarrow$ $+\infty$ découle simplement du fait que $\vert \int a - \int b \vert \leq \int \vert a-b\vert$ . $\sqcap$ $\sqcup$

On utilisera ce résultat très souvent, citons par exemple le corollaire ci-dessous, le théorème de continuité sous le signe intégral, le théorème de dérivation sous le signe intégral, le lemme de Scheffé , le résultat de densité , le contre-exemple du paragraphe , le théorème de Doob .

Corollaire Soit une suite de fonctions intégrables de dans $\mathbb{C}$ , telle que $\sum \parallel f \parallel_1$ converge.
$\bullet$ Alors pour presque tout on a $\sum_n f_n(x)$ convergente vers un certain .
$\bullet$ En outre est intégrable et $\int f = \sum_n \int f_n$ .
$\bullet$ La suite $\sum_{i=0}^n f_n$ converge vers pour .

Démonstration: On considère $g(x)=\sum_n \vert f_n(x)\vert$ . Par le théorème de convergence monotone, $\int g = \sum \int \vert f_n\vert$ . On peut donc définir comme limite des fonctions $h_n(x)=sum_{i=0}^n f_n(x)$ . On a $\vert h(x)\vert \leq g(x)$ ; par le théorème de convergence dominée, l'intégrale de est égale à la limite de l'intégrale des , donc à la limite de la somme des $\int f_i$ pour $i\in [0,n]$ et la dernière assertion découle de la convergence pour dans le théorème de convergence dominée. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Les espaces vectoriels normés et $L^1(\mathbb{C})$ sont complets.

Démonstration: Un espace vectoriel normé est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente; donc d'après le corollaire précédent, et $L^1(\mathbb{C})$ sont complets. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Soit un espace métrique et $f: X \times Y \rightarrow \mathbb{C}$ une application telle que :
$\bullet$ pour tout l'application qui à associe est intégrable
$\bullet$ pour tout appartenant à avec négligeable l'application qui à associe est continue
$\bullet$ il existe intégrale de dans $\mathbb{R}^+$ telle que pour tous et $\vert f(x,y)\vert\leq g(x)$ .
Alors l'application qui à associe $\int f(x,y).dx$ est continue.

Démonstration: On considère une suite tendant vers , la continuité séquentielle impliquant la continuité dans un espace métrique. Il suffit d'appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions de la forme $x \mapsto f(x,y_n)$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Soit un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $f: X \times Y \rightarrow \mathbb{C}$ une application telle que :
$\bullet$ pour tout l'application qui à associe est intégrable
$\bullet$ pour $x \in X-N$ , avec négligeable, l'application qui à associe est dérivable de dérivée
$\bullet$ Pour une certain fonction positive , pour tout , $\vert f_2'(x,y)\vert \leq g(x)$
Alors pour tout $x \mapsto f_2'(x,y)$ est intégrable et l'application qui à associe $\int f(x,y).dx$ est dérivable, de dérivée $\int f_2'(x,y).dx$ .

Démonstration: On considère une suite tendant vers .
On définit $k_n(x)=\frac{f(x,y_n)-f(x,y)}{y_n-y}$ . Pour tout , est intégrable.
D'après l'inégalité des accroissements finis, $\vert k_n(x)\vert$ est majoré par le sup de $\vert f_2'(x,.)\vert$ à son tour majoré par . On peut donc appliquer le théorème de convergence dominée, et déduire le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme [Lemme de Scheffé] Supposons que soit une suite de fonctions ${\cal L}^1$ de $(S,\mu)$ dans $\mathbb{R}$ , et supposons que pour presque tout $f_n(x) \to f(x)$ quand $n \to +\infty$ . Alors

$\displaystyle \int \vert f_n\vert.d\mu \to \int \vert f\vert.d\mu$

si et seulement si

$\displaystyle \int \vert f_n-f\vert.d\mu \to 0$

Démonstration: La partie "si" est triviale; voyons maintenant la partie "et seulement si".
On montre d'abord le résultat pour des fonctions positives.
On suppose donc que $\int f_n(x).d\mu(x) \to \int f(x).d\mu(x)$ . Notons , et et les parties positives et négatives de . Alors:
$\bullet$ $g_n^+(x)\to 0$ et $\int g_n^-(x) \to 0$ presque partout
$\bullet$ $g_n^- \leq f$ , donc par le théorème de convergence dominée $\int g_n^-(x).d\mu(x) \to 0$ .
$\bullet$ Par ailleurs $\int g_n^+(x) = \int f_n(x).d\mu(x) - \int f(x).d\mu(x) - \int g^-(x).d\mu(x)$ qui tend donc vers 0.
$\bullet$ On peut donc déduire par les deux points précédents que $\int g_n.d\mu(x) \to 0$ .
$\bullet$ On a donc prouvé le résultat pour des fonctions positives.
$\bullet$ On passe au cas général. $\int \vert f_n(x)\vert.d\mu(x) \to \int \vert f(x)\vert.d\mu(x)$ signifie que