Intégration dans les espaces produits. Changement de variable
On rappelle qu'une tribu ou -algèbre sur est un sous-ensemble de ,
contenant , stable par passage au complémentaire et par union dénombrable
(et du même coup par intersection dénombrable).
On rappelle aussi qu'un clan ou algèbre sur est un sous-ensemble de
stable par passage au complémentaire et par union finie (et du même coup par
intersection finie).
Définition
On se donne et deux espaces mesurables, munis respectivement de la tribu et de la tribu .
Un ensemble est dit rectangle mesurable de si
et
.
On appelle tribu produit ou -algèbre produit de et et on note
la tribu engendré par les rectangles mesurables. Ce sera la -algèbre par défaut par la suite; un ensemble mesurable de
est en particulier un élément de cette -algèbre .
Un sous-ensemble de
est dit ensemble élémentaire si il est réunion finie de rectangles mesurables.
Etant donné inclus dans
et , on appelle première coupe suivant de l'ensemble des dans tels que
.
Etant donné inclus dans
et , on appelle deuxième coupe suivant de l'ensemble des dans tels que
.
Etant données et des mesures sur
et
respectivement on appelle mesure produit de et une mesure sur
telle que
la mesure d'un rectangle mesurable
soit
.
PropositionL'ensemble des ensembles élémentaires est un clan.
Un ensemble élémentaire peut sécrire comme réunion disjointe d'un nombre fini de rectangles mesurables.
La première coupe suivant d'un ensemble mesurable de
est mesurable.
La deuxième coupe suivant d'un ensemble mesurable de
est mesurable.
Pour mesurable de
, si on se donne deux mesures sur et qui soient -finies, l'application de dans
qui à associe la mesure de la première coupe suivant de est mesurable
Démonstration:Les deux premiers sont faciles.
Le troisième est plus délicat:
- Soit dans
et dans .
- Si est un rectangle mesurable le résultat est clair.
- Il suffit donc de montrer que l'ensembles des dans
tels que la coupe suivant de est mesurable est une tribu, ce qui est facile. Ce est évidemment équivalent au précédent.
Le cinquième est admis.
Théorème
Etant donnés
et
deux espaces mesurés de mesures -finies, il existe une et une seule mesure produit de et . Cette mesure produit est en outre -finie. On la note
.
Démonstration:On définit
avec la deuxième coupe suivant de .
On montre facilement qu'il s'agit bien d'une mesure, en utilisant le cinquième de la proposition précédente.
Il est clair qu'elle vérifie l'hypothèse sur la mesure des rectangles élémentaires.
Si deux mesures vérifient les propriétés demandées, alors elles coïncident sur le -système des rectangles mesurables, en outre les rectangles mesurables engendrent la tribu produit, et cette tribu produit est de mesure -finie (facile).
On peut alors appliquer le lemme (en l'étendant, ce qui est aisé, au cas des mesures -finies).
Corollaire
Soit la mesure produit ainsi définie; alors
Démonstration:La première égalité est directement issue de la preuve ci-dessus; la seconde est due
à l'unicité de la solution et à la symétrie du problème.
Corollaire
Pour qu'un ensemble de
soit négligeable pour
, il suffit que presque toutes les coupes premières de soient négligeables (pareil avec les coupes secondes).
Démonstration:Un tel ensemble est négligeable si et seulement si sa fonction caractéristique est d'intégrale nulle, c'est à dire si sa coupe est d'intégrale nulle presque partout.
CorollaireLa tribu des boréliens sur
est la tribu produit des deux tribus de boréliens de
et de
(produit au sens des -algèbres et pas produit cartésien).
La mesure de Lebesgue sur
est le produit de la mesure de Lebesgue sur
et de la mesure de Lebesgue sur
.
Démonstration:On procède par double inclusion.
- tout d'abord soit un pavé ouvert de
; il appartient bien à la tribu produit de
par
car c'est un rectangle mesurable. Or un ouvert de
est une réunion dénombrable de pavés ouverts (par exemple les pavés ouvert de coordonnées rationnelles inclus dans ce pavé). Donc les ouverts de
sont bien des mesurables pour la tribu produit, et donc les boréliens étant engendrés par les ouverts, ils sont eux-mêmes inclus dans la tribu produit.
- Soit un rectangle mesurable de
; il s'écrit
, et donc
, avec et mesurables. mesurable implique
mesurable, car appartient à la -algèbre engendrée par les ouverts, et donc
appartient à la -algèbre engendrée par les ouverts de
.
Il suffit de considérer l'unicité de la mesure sur
vérifiant le fait que la mesure d'un pavé soit bien le produit des longueurs.
Cette propriété est valable pour les boréliens MAIS pas pour les lebesguiens.
Le théorème qui suit est un théorème fondamental en théorie de l'intégration.
Théorème [Fubini]
On suppose
et
des espaces mesurés de mesures -finies.
Soit mesurable de
dans
.
Alors:
pour tout l'application
est mesurable sur
.
pour tout l'application
est mesurable sur
.
si est positive, alors
est mesurable positive, et
si est positive, alors
est mesurable positive. et
si est intégrable, alors pour presque tout , est intégrable, et
est définie presque partout et intégrable, et on a
si est intégrable, alors pour presque tout , est intégrable, et
est définie presque partout et intégrable, et on a
On remarque bien sûr qu'un sur deux est équivalent au précédent.
Démonstration:(pareil pour le second ) : Soit un ouvert;
est égal à la seconde section de en , qui est mesurable d'après l'une des propriétés vues ci-dessus.
(pareil pour le quatrième ) : on le montre tout d'abord pour une fonction caractéristique d'une partie mesurable de
, puis pour une fonction simple, par combinaison linéaire,puis pour une fonction mesurable positive, en utilisant le théorème de convergence monotone et le fait que toute fonction mesurable positive est limite de fonctions simples.
(pareil pour le sixième ) : Il suffit d'appliquer le cas positif à la partie positive et la partie négative d'une fonction donnée.
Ce théorème sert dans beaucoup beaucoup de situations. Citons:
- le lemme , utile pour le théorème de Runge.
- de nombreuses choses sur le produit de convolution, voir le théorème , dans la partie .
- quelques propriétés de la transformée de Fourier, voir par exemple la proposition .
- le théorème , d'approximation de fonctions par des fonctions à support compact.
Corollaire
Si de dans
est intégrable ou mesurable positive, alors
Bien noter qu'il n'est pas suffisant que l'une de ces deux expressions soit bien définie
pour que le résultat soit vrai, ni même que les deux expressions soient bien définies!
Je donne ci-dessous, sans démonstration (voir [3] pour une preuve complète) la formule du changement de variable dans
:
Théorème [Changement de variable]
Si est un compact inclus dans ouvert de
, si est un -difféomorphisme de sur ouvert de
, si est continue, alors
avec le jacobien de .
Par exemple, cela servira à montrer la commutativité du produit de convolution.