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Intégration dans les espaces produits. Changement de variable

On rappelle qu'une tribu ou $ \sigma $-algèbre sur $ E$ est un sous-ensemble de $ P(E)$, contenant $ E$, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (et du même coup par intersection dénombrable).
On rappelle aussi qu'un clan ou algèbre sur $ E$ est un sous-ensemble de $ P(E)$ stable par passage au complémentaire et par union finie (et du même coup par intersection finie).

Définition On se donne $ X$ et $ Y$ deux espaces mesurables, munis respectivement de la tribu $ {\cal X}$ et de la tribu $ {\cal Y}$.
Un ensemble $ A\times B$ est dit rectangle mesurable de $ X\times Y$ si $ A \in {\cal X}$ et $ B\in {\cal Y}$.
On appelle tribu produit ou $ \sigma $-algèbre produit de $ {\cal X}$ et $ {\cal Y}$ et on note $ {\cal X}\otimes {\cal Y}$ la tribu engendré par les rectangles mesurables. Ce sera la $ \sigma $-algèbre par défaut par la suite; un ensemble mesurable de $ X\times Y$ est en particulier un élément de cette $ \sigma $-algèbre .
Un sous-ensemble de $ X\times Y$ est dit ensemble élémentaire si il est réunion finie de rectangles mesurables.
Etant donné $ E$ inclus dans $ X\times Y$ et $ x \in X$, on appelle première coupe suivant $ x$ de $ E$ l'ensemble des $ y$ dans $ Y$ tels que $ (x,y) \in E$.
Etant donné $ E$ inclus dans $ X\times Y$ et $ y \in Y$, on appelle deuxième coupe suivant $ y$ de $ E$ l'ensemble des $ x$ dans $ X$ tels que $ (x,y) \in E$.
Etant données $ \mu_X$ et $ \mu_Y$ des mesures sur $ (X,{\cal X})$ et $ (Y,{\cal Y})$ respectivement on appelle mesure produit de $ \mu_X$ et $ \mu_Y$ une mesure sur $ (X\times Y, {\cal X}\otimes {\cal Y})$ telle que la mesure d'un rectangle mesurable $ A\times B$ soit $ \mu_X(A) . \mu_Y(B)$.

Proposition $ \bullet $L'ensemble des ensembles élémentaires est un clan.
$ \bullet $Un ensemble élémentaire peut sécrire comme réunion disjointe d'un nombre fini de rectangles mesurables.
$ \bullet $La première coupe suivant $ x$ d'un ensemble mesurable de $ {\cal X}\otimes {\cal Y}$ est mesurable.
$ \bullet $La deuxième coupe suivant $ y$ d'un ensemble mesurable de $ {\cal X}\otimes {\cal Y}$ est mesurable.
$ \bullet $Pour $ E$ mesurable de $ X\times Y$, si on se donne deux mesures sur $ X$ et $ Y$ qui soient $ \sigma $-finies, l'application de $ X$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ x$ associe la mesure de la première coupe suivant $ x$ de $ E$ est mesurable

Démonstration: Les deux premiers $ \bullet $sont faciles.
$ \bullet $Le troisième est plus délicat:
- Soit $ E$ dans $ {\cal X}\otimes {\cal Y}$ et $ x$ dans $ X$.
- Si $ E$ est un rectangle mesurable le résultat est clair.
- Il suffit donc de montrer que l'ensembles des $ F$ dans $ {\cal X}\otimes {\cal Y}$ tels que la coupe suivant $ x$ de $ F$ est mesurable est une tribu, ce qui est facile.$ \sqcap$$ \sqcup$
$ \bullet $Ce $ \bullet $est évidemment équivalent au précédent.
$ \bullet $Le cinquième $ \bullet $est admis.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Etant donnés $ (X,{\cal X},\mu_X)$ et $ (Y,{\cal Y},\mu_Y)$ deux espaces mesurés de mesures $ \sigma $-finies, il existe une et une seule mesure produit de $ \mu_X$ et $ \mu_Y$. Cette mesure produit est en outre $ \sigma $-finie. On la note $ \mu_X \otimes \mu_Y$.
Démonstration: $ \bullet $On définit $ \mu(E)=\int_y \mu(E_y)$ avec $ E_y$ la deuxième coupe suivant $ y$ de $ E$.
$ \bullet $On montre facilement qu'il s'agit bien d'une mesure, en utilisant le cinquième $ \bullet $de la proposition précédente.
$ \bullet $Il est clair qu'elle vérifie l'hypothèse sur la mesure des rectangles élémentaires.

$ \bullet $Si deux mesures vérifient les propriétés demandées, alors elles coïncident sur le $ \Pi $-système des rectangles mesurables, en outre les rectangles mesurables engendrent la tribu produit, et cette tribu produit est de mesure $ \sigma $-finie (facile).
$ \bullet $On peut alors appliquer le lemme [*] (en l'étendant, ce qui est aisé, au cas des mesures $ \sigma $-finies).$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ \mu$ la mesure produit ainsi définie; alors

$\displaystyle \mu(E)=\int_y \mu(E_y)=\int_x \mu(E_x)$

Démonstration: La première égalité est directement issue de la preuve ci-dessus; la seconde est due à l'unicité de la solution et à la symétrie du problème.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Pour qu'un ensemble $ E$ de $ (X\times Y)$ soit négligeable pour $ {\cal X}\otimes {\cal Y}$, il suffit que presque toutes les coupes premières de $ E$ soient négligeables (pareil avec les coupes secondes).

Démonstration: Un tel ensemble est négligeable si et seulement si sa fonction caractéristique est d'intégrale nulle, c'est à dire si sa coupe est d'intégrale nulle presque partout.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire $ \bullet $La tribu des boréliens sur $ \mathbb{R}^{p+q}$ est la tribu produit des deux tribus de boréliens de $ \mathbb{R}^p$ et de $ \mathbb{R}^q$ (produit au sens des $ \sigma $-algèbres et pas produit cartésien).
$ \bullet $La mesure de Lebesgue sur $ \mathbb{R}^{p+q}$ est le produit de la mesure de Lebesgue sur $ \mathbb{R}^p$ et de la mesure de Lebesgue sur $ \mathbb{R}^q$.

Démonstration: $ \bullet $On procède par double inclusion.
- tout d'abord soit un pavé ouvert de $ \mathbb{R}^{p+q}$; il appartient bien à la tribu produit de $ \mathbb{R}^p$ par $ \mathbb{R}^q$ car c'est un rectangle mesurable. Or un ouvert de $ \mathbb{R}^{p+q}$ est une réunion dénombrable de pavés ouverts (par exemple les pavés ouvert de coordonnées rationnelles inclus dans ce pavé). Donc les ouverts de $ \mathbb{R}^{p+q}$ sont bien des mesurables pour la tribu produit, et donc les boréliens étant engendrés par les ouverts, ils sont eux-mêmes inclus dans la tribu produit.
- Soit un rectangle mesurable de $ \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$; il s'écrit $ X\times Y$, et donc $ (X \times \mathbb{R}^q) \cap (\mathbb{R}^p \times Y)$, avec $ X$ et $ Y$ mesurables. $ X$ mesurable implique $ X \times \mathbb{R}^q$ mesurable, car $ X$ appartient à la $ \sigma $-algèbre engendrée par les ouverts, et donc $ X \times \mathbb{R}^q$ appartient à la $ \sigma $-algèbre engendrée par les ouverts de $ \mathbb{R}^{p+q}$.
$ \bullet $Il suffit de considérer l'unicité de la mesure sur $ \mathbb{R}^n$ vérifiant le fait que la mesure d'un pavé soit bien le produit des longueurs.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Cette propriété est valable pour les boréliens MAIS pas pour les lebesguiens.

Le théorème qui suit est un théorème fondamental en théorie de l'intégration.

Théorème [Fubini] On suppose $ (X,{\cal X},\mu_X)$ et $ (Y,{\cal Y},\mu_Y)$ des espaces mesurés de mesures $ \sigma $-finies. Soit $ f$ mesurable de $ (X\times Y,{\cal X}\otimes {\cal Y},\mu_X \otimes \mu_Y)$ dans $ \overline \mathbb{R}$.
Alors:
$ \bullet $pour tout $ x \in X$ l'application $ f_{2,x} : y\mapsto f(x,y)$ est mesurable sur $ (X,{\cal X})$.
$ \bullet $pour tout $ y \in Y$ l'application $ f_{1,y} : x\mapsto f(x,y)$ est mesurable sur $ (X,{\cal X})$.
$ \bullet $si $ f$ est positive, alors $ y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx$ est mesurable positive, et

$\displaystyle \int_Y ( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz$

$ \bullet $si $ f$ est positive, alors $ x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy$ est mesurable positive. et

$\displaystyle \int_X ( \int_Y f_{2,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz$

$ \bullet $si $ f$ est intégrable, alors pour presque tout $ x$, $ f_{2,x}$ est intégrable, et $ x\mapsto \int_Y f_{2,x}(y).dy$ est définie presque partout et intégrable, et on a

$\displaystyle \int_X ( \int_Y f_{1,x}(y).dy ).dx = \int_{X \times Y} f.dz$

$ \bullet $si $ f$ est intégrable, alors pour presque tout $ y$, $ f_{1,y}$ est intégrable, et $ y\mapsto \int_X f_{1,y}(x).dx$ est définie presque partout et intégrable, et on a

$\displaystyle \int_Y ( \int_X f_{1,y}(x).dx ).dy = \int_{X \times Y} f.dz$

On remarque bien sûr qu'un $ \bullet $sur deux est équivalent au $ \bullet $précédent.
Démonstration: $ \bullet $(pareil pour le second $ \bullet $) : Soit $ U$ un ouvert; $ f_{2,x}^{-1}(U)$ est égal à la seconde section de $ f^{-1}(U)$ en $ y$, qui est mesurable d'après l'une des propriétés vues ci-dessus.
$ \bullet $(pareil pour le quatrième $ \bullet $) : on le montre tout d'abord pour une fonction caractéristique d'une partie mesurable de $ (X\times Y, {\cal X}\otimes {\cal Y})$, puis pour une fonction simple, par combinaison linéaire,puis pour une fonction mesurable positive, en utilisant le théorème de convergence monotone et le fait que toute fonction mesurable positive est limite de fonctions simples.
$ \bullet $(pareil pour le sixième $ \bullet $) : Il suffit d'appliquer le cas positif à la partie positive et la partie négative d'une fonction donnée.$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Ce théorème sert dans beaucoup beaucoup de situations. Citons:

- le lemme [*], utile pour le théorème de Runge.

- de nombreuses choses sur le produit de convolution, voir le théorème [*], dans la partie [*].

- quelques propriétés de la transformée de Fourier, voir par exemple la proposition [*].

- le théorème [*], d'approximation de fonctions $ L^p$ par des fonctions $ C^\infty$ à support compact.

Corollaire Si $ f$ de $ X\times Y$ dans $ \mathbb{R}$ est intégrable ou mesurable positive, alors

$\displaystyle \int_Y \int_X f(x,y).dx.dy = \int_X \int_Y f(x,y).dy.dx$

Attention! Bien noter qu'il n'est pas suffisant que l'une de ces deux expressions soit bien définie pour que le résultat soit vrai, ni même que les deux expressions soient bien définies!

Je donne ci-dessous, sans démonstration (voir [3] pour une preuve complète) la formule du changement de variable dans $ \mathbb{R}^n$:

Théorème [Changement de variable] Si $ K$ est un compact inclus dans $ U$ ouvert de $ \mathbb{R}^n$, si $ \phi$ est un $ C^1$-difféomorphisme de $ U$ sur $ U'$ ouvert de $ \mathbb{R}^n$, si $ f$ est continue, alors

$\displaystyle \int_{\phi(K)} f=\int_K f\circ \phi J\phi$

avec $ J\phi$ le jacobien de $ \phi$.

Application(s)... Par exemple, cela servira à montrer la commutativité du produit de convolution.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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