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Continuité, dérivabilité sous le signe $ \int$

Les résultats ci-dessous sont rappelés ici par souci encyclopédique, afin de regrouper les résultats s'appliquant aux fonctions définies par une intégrale.

Théorème Soit $ X$ un espace muni d'une mesure $ \mu$ sur une tribu $ {\cal T}$ de $ X$.

Soit $ (E,d)$ un espace métrique.

On se donne $ f$ une application de $ E\times X \to \mathbb{C}$, et on définit $ F(t)=\int_X f(t,x) dx$ (intégrale pour la mesure $ \mu$, notée souvent aussi $ \int_X f(t,x) d\mu(x)$.

Hypothèses Conclusion
Pour tout $ t$ l'application $ x\mapsto f(t,x)$ est mesurable

Pour presque tout $ x$ la fonction $ t\mapsto f(t,x)$ est continue en $ T$

Il existe $ g$ $ L^1$ telle que pour tout $ t$ et presque tout $ x$ $ \vert f(t,x)\vert\leq g(x)$

$ F$ est continue en $ T$.

Pour tout $ t$ l'application $ x\mapsto f(t,x)$ est mesurable

Pour presque tout $ x$ la fonction $ t\mapsto f(t,x)$ est continue sur $ E$

Pour tout compact $ K$ de $ E$ il existe $ g$ $ L^1$ telle que pour tout $ t$ dans $ K$ et presque tout $ x$ $ \vert f(t,x)\vert\leq g(x)$.

$ F$ est continue sur $ E$.

$ E$ est un ouvert de $ \mathbb{R}$ ou de $ \mathbb{C}$ 1

Pour presque tout $ t$ $ x\mapsto f(t,x)$ est $ L^1$

Il existe $ N$ négligeable tel que pour tout $ x\not\in N$ la fonction $ t\mapsto f(t,x)$ est dérivable (resp. $ C^1$ ) 2.

Pour tout compact $ K$ de $ E$ il existe une fonction $ g$ $ L^1$ telle que pour tout $ t$ dans $ K$ et tout $ x\not\in N$ $ \vert\frac{\delta f}{\delta t}(t,x) \vert \leq g(x)$.

1 Hypothèse facile à retenir; il s'agit de pouvoir définir une dérivée au sens le plus commun, ie dérivée d'une fonction d'une variable réelle ou complexe!
2 Attention ! Dans le cas d'un ouvert de $ \mathbb{C}$ on parle de dérivabilité au sens complexe, et pas de différentiabilité en voyant $ \mathbb{C}$ comme un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel !

Pour tout $ t$ la fonction $ x \mapsto \frac{\delta f}{\delta x}(t,x)$ est $ L^1$

$ F$ est dérivable (resp. $ C^1$), de dérivée $ \int_X \frac{\delta f}{\delta t}(t,x) dx$.

$ E$ est un ouvert de $ \mathbb{R}$ ou un ouvert de $ \mathbb{C}$.

Pour presque tout $ t$ $ x\mapsto f(t,x)$ est $ L^1$

Il existe $ N$ négligeable tel que pour tout $ x\not\in N$ la fonction $ t\mapsto f(t,x)$ est $ C^k$.

Pour tout compact $ K$ de $ E$ et tout $ j\in[1,k]$ il existe une fonction $ g$ $ L^1$ telle que pour tout $ t$ dans $ K$ et tout $ x\not\in N$ $ \vert\frac{\delta ^j f}{\delta t^j}(t,x)\vert \leq g(x)$.

Pour tout $ t$ la fonction $ x \mapsto \frac{\delta ^j f}{\delta t^j}(t,x)$ est $ L^1$

$ F$ est $ C^k$, et pour $ j\in [0,k]$ $ \frac{\delta ^j F}{\delta t^j}=\int_X \frac{\delta ^j f}{\delta t^j} (t,x) dx$.

Application(s)... Le théorème [*] est un exemple d'application.

Démonstration: Le premier théorème de continuité a été prouvé plus haut; voir théorème [*].

Le second découle du fait que pour montrer la continuité en un point, il suffit de montrer la continuité séquentielle en ce point; on se donne alors une suite tendant vers ce point, et on considère l'ensemble $ K$ des points de cette suite, plus la limite en question.

$ K$ est séparé parce qu'inclus dans un métrique.

$ K$ est compact, car étant donné un recouvrement ouvert de ce compact, on extrait un ouvert contenant la limite, il y a un nombre fini de points en dehors de cet ouvert, et ainsi on extrait un recouvrement fini.

On peut donc appliquer le théorème précédent à $ K$, et on a le résultat souhaité.

Les théorèmes sur la dérivabilité découlent du corollaire [*]. $ \sqcap$$ \sqcup$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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