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Continuité, dérivabilité sous le signe $\int$

Les résultats ci-dessous sont rappelés ici par souci encyclopédique, afin de regrouper les résultats s'appliquant aux fonctions définies par une intégrale.

Théorème Soit un espace muni d'une mesure $\mu$ sur une tribu ${\cal T}$ de .

Soit un espace métrique.

On se donne une application de $E\times X \to \mathbb{C}$ , et on définit $F(t)=\int_X f(t,x) dx$ (intégrale pour la mesure $\mu$ , notée souvent aussi $\int_X f(t,x) d\mu(x)$ .

Hypothèses Conclusion

Pour tout l'application $x\mapsto f(t,x)$ est mesurable
Pour presque tout la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est continue en
Il existe telle que pour tout et presque tout $\vert f(t,x)\vert\leq g(x)$

est continue en .

Pour tout l'application $x\mapsto f(t,x)$ est mesurable
Pour presque tout la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est continue sur
Pour tout compact de il existe telle que pour tout dans et presque tout $\vert f(t,x)\vert\leq g(x)$ .

est continue sur .

est un ouvert de $\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{C}$ ¹
Pour presque tout $x\mapsto f(t,x)$ est
Il existe négligeable tel que pour tout $x\not\in N$ la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est dérivable (resp. ) ².
Pour tout compact de il existe une fonction telle que pour tout dans et tout $x\not\in N$ $\vert\frac{\delta f}{\delta t}(t,x) \vert \leq g(x)$ .

¹ Hypothèse facile à retenir; il s'agit de pouvoir définir une dérivée au sens le plus commun, ie dérivée d'une fonction d'une variable réelle ou complexe!
² Attention ! Dans le cas d'un ouvert de $\mathbb{C}$ on parle de dérivabilité au sens complexe, et pas de différentiabilité en voyant $\mathbb{C}$ comme un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel !

Pour tout la fonction $x \mapsto \frac{\delta f}{\delta x}(t,x)$ est
est dérivable (resp. ), de dérivée $\int_X \frac{\delta f}{\delta t}(t,x) dx$ .

est un ouvert de $\mathbb{R}$ ou un ouvert de $\mathbb{C}$ .
Pour presque tout $x\mapsto f(t,x)$ est
Il existe négligeable tel que pour tout $x\not\in N$ la fonction $t\mapsto f(t,x)$ est .
Pour tout compact de et tout $j\in[1,k]$ il existe une fonction telle que pour tout dans et tout $x\not\in N$ $\vert\frac{\delta ^j f}{\delta t^j}(t,x)\vert \leq g(x)$ .

Pour tout la fonction $x \mapsto \frac{\delta ^j f}{\delta t^j}(t,x)$ est
est , et pour $j\in [0,k]$ $\frac{\delta ^j F}{\delta t^j}=\int_X \frac{\delta ^j f}{\delta t^j} (t,x) dx$ .

Le théorème est un exemple d'application.

Démonstration: Le premier théorème de continuité a été prouvé plus haut; voir théorème .

Le second découle du fait que pour montrer la continuité en un point, il suffit de montrer la continuité séquentielle en ce point; on se donne alors une suite tendant vers ce point, et on considère l'ensemble des points de cette suite, plus la limite en question.

est séparé parce qu'inclus dans un métrique.

est compact, car étant donné un recouvrement ouvert de ce compact, on extrait un ouvert contenant la limite, il y a un nombre fini de points en dehors de cet ouvert, et ainsi on extrait un recouvrement fini.

On peut donc appliquer le théorème précédent à , et on a le résultat souhaité.

Les théorèmes sur la dérivabilité découlent du corollaire . $\sqcap$ $\sqcup$