Théorème
Soit un ouvert de
et de
dans
,
avec espace muni d'une -algèbre et une mesure sur
.
On définit la fonction
.
Hypothèses requises:
Pour tout est .
Il existe négligeable tel que pour tout
la fonction
appartient à .
Pour tout compact de , il existe
sur telle que pour tout dans et pour tout
,
.
Alors:
est définie pour tout
est holomorphe
Démonstration:
Montrons tout d'abord que:
pour tout compact de , il existe sur telle que pour tout dans et pour tout
,
.
Pour montrer ce résultat:
Soit un compact de .
Soit l'ensemble des dans
tels que la distance de à soit
1.1.
L'application qui à associe la distance de à est continue.
est borné, et fermé comme image réciproque d'un fermé par une fonction continue; est donc compact.
Pour tout dans le cercle
de centre et de rayon est inclus dans .
On choisit suffisamment petit pour que soit inclus dans ( c'est possible car sinon on construit une suite dans
, on se plonge dans le compact , on considère une limite de suite extraite, elle n'est pas dans mais elle est dans , d'où contradiction)
D'après le théorème , pour dans le disque de centre et de rayon ,
Les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral étant vérifiées, on en déduit:
Et donc
Donc par hypothèse
La fonction égale à
convient donc pour le résultat que l'on voulait montrer, à savoir:
pour tout compact de , il existe sur telle que pour tout dans et pour tout
,
.
Alors, on peut conclure en appliquant le théorème de dérivation sous le signe intégral précédent que :