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Fonctions holomorphes sous le signe $ \int$

Théorème Soit $ \Omega$ un ouvert de $ \mathbb{C}$ et $ f$ de $ \Omega \times X$ dans $ \mathbb{C}$, avec $ X$ espace muni d'une $ \sigma $-algèbre $ {\cal T}$ et $ \mu$ une mesure sur $ (X,{\cal T})$.

On définit la fonction $ F(z)=\int_X f(z,x)dx$.

Hypothèses requises:

$ \bullet $Pour tout $ z$ $ x\mapsto f(z,x)$ est $ L^1$.

$ \bullet $Il existe $ N$ négligeable tel que pour tout $ x\not\in N$ la fonction $ z\mapsto f(z,x)$ appartient à $ H(\Omega)$.

$ \bullet $Pour tout compact $ K$ de $ \Omega$, il existe $ g$ $ L^1$ sur $ K$ telle que pour tout $ z$ dans $ K$ et pour tout $ x\not\in N$, $ \vert f(z,x))\vert\leq g(x)$.

Alors:

$ \bullet $$ F(z)$ est définie pour tout $ z$

$ \bullet $$ F$ est holomorphe

$ \bullet $ $ F'(z)=\int_X \frac{\delta f}{\delta z}(z,x) dx$

Démonstration:

Montrons tout d'abord que:

pour tout compact $ K$ de $ \Omega$, il existe $ h$ $ L^1$ sur $ K$ telle que pour tout $ z$ dans $ K$ et pour tout $ x\not\in N$, $ \vert\frac{\delta f}{\delta z}(z,x))\vert\leq h(x)$.

Pour montrer ce résultat:

$ \bullet $Soit $ K$ un compact de $ \Omega$.

$ \bullet $Soit $ K_\delta $ l'ensemble des $ z$ dans $ \mathbb{C}$ tels que la distance de $ z$ à $ K$ soit $ \leq \epsilon $ 1.1.

$ \bullet $L'application qui à $ z$ associe la distance de $ z$ à $ K$ est continue.

$ \bullet $$ K_\delta $ est borné, et fermé comme image réciproque d'un fermé par une fonction continue; $ K_\delta $ est donc compact.

$ \bullet $Pour tout $ z$ dans $ K$ le cercle $ S(z,\delta )$ de centre $ z$ et de rayon $ \delta $ est inclus dans $ K_\delta $.

$ \bullet $On choisit $ \delta $ suffisamment petit pour que $ K_\delta $ soit inclus dans $ \Omega$ ( c'est possible car sinon on construit une suite dans $ K_{1/n} \cap \mathbb{C}\setminus \Omega$, on se plonge dans le compact $ K_1$, on considère une limite de suite extraite, elle n'est pas dans $ \Omega$ mais elle est dans $ K$, d'où contradiction)

$ \bullet $D'après le théorème [*], pour $ z'$ dans le disque de centre $ z$ et de rayon $ \delta $,

$\displaystyle f(z',x)=\frac1{2i\Pi}\int_0^1 \frac{f(z+\delta e^{2i\Pi u},x)}{\delta e^{2i\Pi u}-z'}du$

Les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe intégral [*] étant vérifiées, on en déduit:

$\displaystyle \frac{\delta f}{\delta z}(z,x)=\frac{1}{2i\Pi} \int_0^1 \frac{f(z+\delta e^{2i\Pi u},x)}{(\delta e^{2i\Pi u}-z)^2}du$

Et donc

$\displaystyle \frac{\delta f}{\delta z}(z,x)\leq \frac{sup_{K_\delta } f(.,x)}{\delta ^2}$

Donc par hypothèse

$\displaystyle \vert\frac{\delta f}{\delta z}(z,x)\vert \leq \frac1{\delta } g(x)$

La fonction $ h$ égale à $ \frac1{\delta ^2}g$ convient donc pour le résultat que l'on voulait montrer, à savoir:

pour tout compact $ K$ de $ \Omega$, il existe $ h$ $ L^1$ sur $ K$ telle que pour tout $ z$ dans $ K$ et pour tout $ x\not\in N$, $ \vert\frac{\delta f}{\delta z}(z,x))\vert\leq h(x)$.

Alors, on peut conclure en appliquant le théorème de dérivation sous le signe intégral [*] précédent que :

$ \bullet $$ F(z)$ est définie pour tout $ z$

$ \bullet $$ F$ est holomorphe

$ \bullet $ $ F'(z)=\int_X \frac{\delta f}{\delta z}(z,x) dx$ $ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... 1.1
Il ne s'agit pas d'un $ \epsilon$ voisinage, on a pris $ \leq$ et non $ <$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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