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Approfondissements sur les mesures complexes

Définition Etant donnée $ \mu$ une mesure complexe sur $ X$, on appelle variation totale de $ \mu$ ou mesure de la variation totale de $ \mu$ et on note $ \vert\mu\vert$ l'application de l'ensemble des parties mesurables de $ X$ dans $ [0,+\infty]$ qui à $ E$ mesurable associe $ sup \sum_i \vert\mu(E_i)\vert$, le $ sup$ étant pris sur l'ensemble des partitions de $ X$.

Proposition $ \vert\mu\vert$ est une mesure.

Démonstration:

$ \bullet $Il est clair que $ \vert\mu\vert(\emptyset)=0$.

$ \bullet $Soit maintenant $ (E_i)_{i\in I}$ avec $ I$ dénombrable une partition de $ E$. On va chercher à montrer que $ \vert\mu\vert(E)=\sum_i \vert\mu\vert(E_i)$.

- Montrons tout d'abord que $ \vert\mu\vert(E)\geq \sum_i \vert\mu\vert(E_i)$. Pour cela on se donne $ \epsilon >0$, et on considère, pour tout $ i$ dans $ I$, une partition $ F_{i,j}$ de $ E_i$ avec $ \sum_i \vert\mu(F_{i,j})\vert \geq (1-\epsilon ).\vert\mu\vert(E_i)$ (on peut trouver une telle partition, par définition de $ \vert\mu\vert$). On a alors $ \sum_i (1-\epsilon )\vert\mu\vert(E_i) \leq \sum_{i,j} \vert\mu\vert(F_{i,j}) \leq \sum_i \vert\mu\vert(E_i)$. En faisant tendre $ \epsilon$ vers 0 on obtient l'inégalité attendue.

- Montrons maintenant que $ \vert\mu\vert(E)\leq \sum_i \vert\mu\vert(E_i)$. Considérons une partition $ F_j$ de $ E$. Si on réussit à montrer que la somme des $ \vert\mu(F_j)\vert$ est inférieur ou égal à la somme des $ \vert\mu\vert(E_i)$ on aura gagné. On considère alors $ G_{i,j}=E_i\cap F_j$. Les $ G_{i,j}$ forment une nouvelle partition de $ E$. Par définition de $ \vert\mu\vert$ on sait que $ \vert\mu\vert(E_i) \geq \sum_j \vert\mu(G_{i,j})\vert$. En sommant sur $ I$ on obtient

$\displaystyle \sum_i \vert\mu\vert(E_i) \geq \sum_{i,j} \vert\mu(G_{i,j})\vert\geq \sum_j \sum_i \vert\mu(G_{i,j})\vert\geq \sum_j \vert\mu(F_j)\vert$

Le résultat est ainsi prouvé.$ \sqcap$$ \sqcup$

Notons que pour prouver ce résultat on utilise allègrement les permutations de sommes infinies lorsque la convergence est absolue.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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