Définition
Etant donnée une mesure complexe sur , on appelle
variation totale de ou mesure de la variation
totale de et on note l'application
de l'ensemble des parties mesurables de dans
qui à mesurable associe
, le
étant pris sur l'ensemble des partitions de .
Proposition est une mesure.
Démonstration:
Il est clair que
.
Soit maintenant
avec dénombrable
une partition de . On va chercher à montrer que
.
- Montrons tout d'abord que
.
Pour cela on se donne
, et on considère, pour tout dans , une partition
de avec
(on peut trouver une telle partition, par définition de ).
On a alors
.
En faisant tendre vers 0 on obtient l'inégalité attendue.
- Montrons maintenant que
.
Considérons une partition de . Si on réussit
à montrer que la somme des
est inférieur
ou égal à la somme des
on aura gagné.
On considère alors
. Les
forment une nouvelle partition de . Par définition
de on sait que
.
En sommant sur on obtient
Le résultat est ainsi prouvé.
Notons que pour prouver ce résultat on utilise allègrement les permutations de sommes infinies lorsque la convergence est absolue.
une mesure complexe
, on appelle
variation totale de 
l'application
de l'ensemble des parties mesurables![$ [0,+\infty]$](/a/a/i/img145.png){kind=small}
qui à 
mesurable associe
, le 
étant pris sur l'ensemble des partitions de 
Il est clair que
.
avec 
dénombrable
une partition de 
.
.
Pour cela on se donne
, et on considère, pour tout 
dans 
de 
avec
(on peut trouver une telle partition, par définition de 
.
En faisant tendre 
vers 0 on obtient l'inégalité attendue.
.
Considérons une partition 
de 
est inférieur
ou égal à la somme des
on aura gagné.
On considère alors
. Les 
forment une nouvelle partition de 
.
En sommant sur 
