Définition
Etant donnée une mesure complexe sur , on appelle
variation totale de ou mesure de la variation
totale de et on note l'application
de l'ensemble des parties mesurables de dans
qui à mesurable associe
, le
étant pris sur l'ensemble des partitions de .
Proposition est une mesure.
Démonstration:
Il est clair que
.
Soit maintenant
avec dénombrable
une partition de . On va chercher à montrer que
.
- Montrons tout d'abord que
.
Pour cela on se donne
, et on considère, pour tout dans , une partition
de avec
(on peut trouver une telle partition, par définition de ).
On a alors
.
En faisant tendre vers 0 on obtient l'inégalité attendue.
- Montrons maintenant que
.
Considérons une partition de . Si on réussit
à montrer que la somme des
est inférieur
ou égal à la somme des
on aura gagné.
On considère alors
. Les
forment une nouvelle partition de . Par définition
de on sait que
.
En sommant sur on obtient
Le résultat est ainsi prouvé.
Notons que pour prouver ce résultat on utilise allègrement les permutations de sommes infinies lorsque la convergence est absolue.