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Presque recouvrement d'un ouvert de par des petites boules

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Presque recouvrement d'un ouvert de $\mathbb{R}^n$ par des petites boules

Proposition Soit $(x_i,r_i)_{i\in Boules}$ , avec les dans $\mathbb{R}^n$ , et les tels que $0<r_i<\Delta <+\infty$ .

Alors il existe un sous-ensemble dénombrable de tel que

$\displaystyle \cup_{i\in Boules} \overline B(x_i,r_i) \subset \cup_{i\in Boules'} \overline B(x_i,5r_i)$

$\displaystyle (i,j) \in Boules'^2 \land i\neq j \Rightarrow B(x_i,r_i)\cap B(x_j,r_j)=\emptyset$

(c'est à dire que les boules de sont disjointes, et que si on multiplie leurs rayons par on recouvre tout ce que l'on recouvrait avec .

Par commodité, on identifiera le couple et la boule fermée $\overline B(x,r)$ .

Démonstration:

$\bullet$ On définit pour $k\geq 1$ l'ensemble des $i \in Boules$ tels que $r_i\in [\frac{D}{2^k},\frac{D}{2^{k-1}}]$ . C'est à dire que l'on regroupe les boules par taille, les plus grosses d'abord.

$\bullet$ On définit comme un ensemble maximal de boules disjointes dans . Cela peut se faire grâce au lemme de Zorn (voir lemme ).

$\bullet$ On définit ensuite et par récurrence.

$\bullet$ est le sous-ensemble de des boules qui intersectent la réunion des boules de la réunion des $BellesBoules_{i}$ pour $1\leq i<n$ .

$\bullet$ est la réunion de $BellesBoules_{k-1}$ et d'un ensemble maximal de boules disjointes parmi $Boules_k\setminus Genantes_k$ .

$\bullet$ Il est clair que est un ensemble de boules de diamètre minoré par une constante .

$\bullet$ On montre maintenant que est un ensemble dénombrable de boules:

- Le nombre de boules de incluses dans est fini, puisque le volume d'une boule est minoré par une constante et qu'il y a un volume fini dans (rappelons que les boules sont disjointes).

- Donc est dénombrable.

$\bullet$ On définit maintenant (tout court, sans indice!) comme la réunion des . Il s'agit d'une famille de boules disjointes (facile, on prend deux boules, soit elles appartiennent à un même (auquel cas elles sont disjointes), soit l'une appartient à et l'autre à ).

$\bullet$ est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables, et est donc dénombrable.

$\bullet$ Il reste maintenant à prouver ce que l'on cherchait à prouver, c'est à dire que la famille convient, c'est à dire que si l'on multiplie leurs rayons par , les boules de remplissent au moins tout l'espace rempli par .

$\bullet$ Soit appartenant à une boule de .

$\bullet$ Soit une boule de à laquelle appartient .

$\bullet$ Soit tel que $B\in Boules_k$ .

$\bullet$ Par définition de , la famille

$\displaystyle \{B\} \cup BellesBoules_k \cup BellesBoules_{k-1} \cup BellesBoules_{k-2} ... \cup BellesBoules_1$

n'est pas une famille de boules disjointes.

$\bullet$ Il existe donc une boule dans un des pour $i\leq n$ qui intersecte .

$\bullet$ En multipliant le rayon de par , on recouvre donc ... $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Soit un ouvert de $\mathbb{R}^n$ , et $\delta$ un réel .

Alors il existe une famille dénombrable de boules fermées disjointes de diamètre $<\delta$ , toutes incluses dans , qui recouvrent à part sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle.

Démonstration:

$\bullet$ On considère les intersections de avec les couronnes ouvertes de centre 0 et comprises entre les sphères de rayon et .

$\bullet$ Il est clair que les intersections en question sont ouvertes, bornées.

$\bullet$ Il est donc clair que si l'on résoud la question dans le cas d'un ouvert borné, par réunion dénombrable, on aura résolu la question.

$\bullet$ Soit donc un tel , ouvert borné.

$\bullet$ On considère l'ensemble des boules fermées de diamètre $<\delta$ incluses dans .

$\bullet$ On considère maintenant la famille dénombrable construite suivant la proposition précédente; c'est à dire qu'en multipliant le rayon des boules par on recouvre tout .

$\bullet$ Le volume de est au moins $\frac{1}{5^n}$ fois le volume de .

$\bullet$ On réitère sur le complémentaire de dans ; on construit ainsi .

$\bullet$ On continue sur le complémentaire de $ChouettesBoules_1 \cup ChouettesBoules_2 \cup ... \cup ChouettesBoules_k$ pour construire $ChouettesBoules_{k+1}$ .

$\bullet$ On considère maintenant la réunions des ; cette famille est dénombrable, et son complémentaire dans est de volume inférieur à pour tout , et donc de volume nul... $\sqcap$ $\sqcup$