Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
215 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Presque recouvrement d'un ouvert de par des petites boules next up previous index
suivant: Index monter: Zoologie de la mesure précédent: Approfondissements sur les mesures   Index

Presque recouvrement d'un ouvert de $ \mathbb{R}^n$ par des petites boules

Proposition Soit $ (x_i,r_i)_{i\in Boules}$, avec les $ x_i$ dans $ \mathbb{R}^n$, et les $ r_i$ tels que $ 0<r_i<\Delta <+\infty$.

Alors il existe $ Boules'$ un sous-ensemble dénombrable de $ Boules$ tel que

$\displaystyle \cup_{i\in Boules} \overline B(x_i,r_i) \subset \cup_{i\in Boules'} \overline B(x_i,5r_i)$

ET

$\displaystyle (i,j) \in Boules'^2 \land i\neq j \Rightarrow B(x_i,r_i)\cap B(x_j,r_j)=\emptyset$

(c'est à dire que les boules de $ Boules'$ sont disjointes, et que si on multiplie leurs rayons par $ 5$ on recouvre tout ce que l'on recouvrait avec $ Boules$.

Par commodité, on identifiera le couple $ (x,r)$ et la boule fermée $ \overline B(x,r)$.

Démonstration:

$ \bullet $On définit $ Boules_k$ pour $ k\geq 1$ l'ensemble des $ i \in Boules$ tels que $ r_i\in [\frac{D}{2^k},\frac{D}{2^{k-1}}]$. C'est à dire que l'on regroupe les boules par taille, les plus grosses d'abord.

$ \bullet $On définit $ BellesBoules_1$ comme un ensemble maximal de boules disjointes dans $ Boules_1$. Cela peut se faire grâce au lemme de Zorn (voir lemme [*]).

$ \bullet $On définit ensuite $ BellesBoules_k$ et $ Genantes_k$ par récurrence.

$ \bullet $ $ Genantes_k$ est le sous-ensemble de $ Boules_k$ des boules qui intersectent la réunion des boules de la réunion des $ BellesBoules_{i}$ pour $ 1\leq i<n$.

$ \bullet $ $ BellesBoules_k$ est la réunion de $ BellesBoules_{k-1}$ et d'un ensemble maximal de boules disjointes parmi $ Boules_k\setminus Genantes_k$.

$ \bullet $Il est clair que $ BellesBoules_k$ est un ensemble de boules de diamètre minoré par une constante $ >0$.

$ \bullet $On montre maintenant que $ BellesBoules_k$ est un ensemble dénombrable de boules:

- Le nombre de boules de $ BellesBoules_k$ incluses dans $ [-i,i]^n$ est fini, puisque le volume d'une boule est minoré par une constante $ >0$ et qu'il y a un volume fini dans $ [-i,i]^n$ (rappelons que les boules sont disjointes).

- Donc $ BellesBoules_k$ est dénombrable.

$ \bullet $On définit maintenant $ BellesBoules$ (tout court, sans indice!) comme la réunion des $ BellesBoules_k$. Il s'agit d'une famille de boules disjointes (facile, on prend deux boules, soit elles appartiennent à un même $ BellesBoules_k$ (auquel cas elles sont disjointes), soit l'une appartient à $ BellesBoules_k$ et l'autre à ).

$ \bullet $ $ BellesBoules$ est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables, et est donc dénombrable.

$ \bullet $Il reste maintenant à prouver ce que l'on cherchait à prouver, c'est à dire que la famille $ BellesBoules$ convient, c'est à dire que si l'on multiplie leurs rayons par $ 5$, les boules de $ BellesBoules$ remplissent au moins tout l'espace rempli par $ Boules$.

$ \bullet $Soit $ x$ appartenant à une boule de $ Boules$.

$ \bullet $Soit $ B$ une boule de $ Boules$ à laquelle appartient $ x$.

$ \bullet $Soit $ n$ tel que $ B\in Boules_k$.

$ \bullet $Par définition de $ BellesBoules_k$, la famille

$\displaystyle \{B\} \cup BellesBoules_k \cup BellesBoules_{k-1} \cup BellesBoules_{k-2} ... \cup BellesBoules_1$

n'est pas une famille de boules disjointes.

$ \bullet $Il existe donc une boule $ B'$ dans un des $ BellesBoules_i$ pour $ i\leq n$ qui intersecte $ B$.

$ \bullet $En multipliant le rayon de $ B'$ par $ 5$, on recouvre donc $ B$...$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Soit $ U$ un ouvert de $ \mathbb{R}^n$, et $ \delta $ un réel $ >0$.

Alors il existe une famille dénombrable de boules fermées disjointes de diamètre $ <\delta $, toutes incluses dans $ U$, qui recouvrent $ U$ à part sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle.

Démonstration:

$ \bullet $On considère les intersections de $ U$ avec les couronnes ouvertes de centre 0 et comprises entre les sphères de rayon $ n$ et $ n+1$.

$ \bullet $Il est clair que les intersections en question sont ouvertes, bornées.

$ \bullet $Il est donc clair que si l'on résoud la question dans le cas d'un ouvert borné, par réunion dénombrable, on aura résolu la question.

$ \bullet $Soit donc un tel $ U$, ouvert borné.

$ \bullet $On considère l'ensemble des boules fermées de diamètre $ <\delta $ incluses dans $ U$.

$ \bullet $On considère maintenant la famille $ ChouettesBoules_1$ dénombrable construite suivant la proposition précédente; c'est à dire qu'en multipliant le rayon des boules par $ 5$ on recouvre tout $ U$.

$ \bullet $Le volume de $ ChouettesBoules_1$ est au moins $ \frac{1}{5^n}$ fois le volume de $ U$.

$ \bullet $On réitère sur le complémentaire de $ ChouettesBoules_1$ dans $ U$; on construit ainsi $ ChouettesBoules_2$.

$ \bullet $On continue sur le complémentaire de $ ChouettesBoules_1 \cup ChouettesBoules_2 \cup ... \cup ChouettesBoules_k$ pour construire $ ChouettesBoules_{k+1}$.

$ \bullet $On considère maintenant $ ChouettesBoules$ la réunions des $ ChouettesBoules_k$; cette famille est dénombrable, et son complémentaire dans $ U$ est de volume inférieur à $ (1-1/5^n)^i$ pour tout $ i$, et donc de volume nul...$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Index monter: Zoologie de la mesure précédent: Approfondissements sur les mesures   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page