Proposition
Soit
, avec les dans
, et les tels que
.
Alors il existe un sous-ensemble dénombrable de tel que
ET
(c'est à dire que les boules de sont disjointes, et que si on multiplie leurs rayons par on recouvre tout ce que l'on recouvrait avec .
Par commodité, on identifiera le couple et la boule fermée
.
Démonstration:
On définit pour l'ensemble des
tels que
. C'est à dire que l'on regroupe les boules par taille, les plus grosses d'abord.
On définit
comme un ensemble maximal de boules disjointes dans . Cela peut se faire grâce au lemme de Zorn (voir lemme ).
On définit ensuite
et
par récurrence.
est le sous-ensemble de des boules qui intersectent la réunion des boules de la réunion des
pour .
est la réunion de
et d'un ensemble maximal de boules disjointes parmi
.
Il est clair que
est un ensemble de boules de diamètre minoré par une constante .
On montre maintenant que
est un ensemble dénombrable de boules:
- Le nombre de boules de
incluses dans est fini, puisque le volume d'une boule est minoré par une constante et qu'il y a un volume fini dans (rappelons que les boules sont disjointes).
- Donc
est dénombrable.
On définit maintenant
(tout court, sans indice!) comme la réunion des
. Il s'agit d'une famille de boules disjointes (facile, on prend deux boules, soit elles appartiennent à un même
(auquel cas elles sont disjointes), soit l'une appartient à
et l'autre à ).
est une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables, et est donc dénombrable.
Il reste maintenant à prouver ce que l'on cherchait à prouver, c'est à dire que la famille
convient, c'est à dire que si l'on multiplie leurs rayons par , les boules de
remplissent au moins tout l'espace rempli par .
Soit appartenant à une boule de .
Soit une boule de à laquelle appartient .
Soit tel que
.
Par définition de
, la famille
n'est pas une famille de boules disjointes.
Il existe donc une boule dans un des
pour qui intersecte .
En multipliant le rayon de par , on recouvre donc ...
Corollaire
Soit un ouvert de
, et un réel .
Alors il existe une famille dénombrable de boules fermées disjointes de diamètre , toutes incluses dans , qui recouvrent à part sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle.
Démonstration:
On considère les intersections de avec les couronnes ouvertes de centre 0 et comprises entre les sphères de rayon et .
Il est clair que les intersections en question sont ouvertes, bornées.
Il est donc clair que si l'on résoud la question dans le cas d'un ouvert borné, par réunion dénombrable, on aura résolu la question.
Soit donc un tel , ouvert borné.
On considère l'ensemble des boules fermées de diamètre incluses dans .
On considère maintenant la famille
dénombrable construite suivant la proposition précédente; c'est à dire qu'en multipliant le rayon des boules par on recouvre tout .
Le volume de
est au moins
fois le volume de .
On réitère sur le complémentaire de
dans ; on construit ainsi
.
On continue sur le complémentaire de
pour construire
.
On considère maintenant
la réunions des
; cette famille est dénombrable, et son complémentaire dans est de volume inférieur à
pour tout , et donc de volume nul...