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Définitions, généralités

Soit $ X$ un ensemble, $ {\cal A}\in {\cal P}(x)$.

Définition [Algèbre] $ {\cal A}$ est une algèbre (on dit aussi parfois clan) si elle vérifie:
$ \bullet $ $ X \in {\cal A}$
$ \bullet $Stabilité par union finie
$ \bullet $Stabilité par passage au complémentaire

Propriétés:
$ \bullet $ $ \emptyset \in {\cal A}$
$ \bullet $Stabilité par intersection finie
$ \bullet $Stabilité par différence
$ \bullet $Une intersection quelconque d'algèbres est une algèbre.

En fait une algèbre est stable par n'importe quelle suite finie d'opérations sur les ensembles.

Exemples:
a) $ \{\emptyset,X\}$
b) $ {\cal P}(X)$
c) $ \{A \subset X \vert A$    fini ou cofini $ \}$
d) $ \{A \subset X \vert A$    ou $ A^c$    au plus dénombrable$ \}$
e) $ X,E \subset X$; $ \{ A / A \subset E \lor X - E \subset A\}$
f) $ X,E \subset X$; $ \{E \subset A \lor A \cap E = \emptyset\}$

Définition [$ \sigma $-algèbre] $ {\cal A}$ est une $ \sigma $-algèbre (ou tribu) si elle vérifie:
$ \bullet $ $ X \in {\cal A}$
$ \bullet $stabilité par union dénombrable
$ \bullet $stabilité par passage au complémentaire

Propriété:
$ \bullet $ $ \emptyset \in {\cal A}$
$ \bullet $stabilité par intersection dénombrable.
$ \bullet $Une $ \sigma $-algèbre est une algèbre.
$ \bullet $stabilité par différence.
$ \bullet $L'image réciproque d'une tribu par une application est une tribu.
$ \bullet $Etant donnée une tribu $ {\cal A}$ sur $ X$, et une application $ f$ de $ X$ dans $ Y$, alors l'ensemble des $ U \subset Y$ tels que $ f^{-1}(U)$ appartient à $ {\cal A}$ est une tribu sur $ Y$.
$ \bullet $Une intersection quelconque de tribus est une tribu.

En fait une $ \sigma $-algèbre est stable par n'importe quelle suite dénombrable d'opérations sur les ensembles.

Notez que l'ensemble des parties mesurables au sens de Riemann d'un segment $ [a,b]$ au sens de Riemann est un clan, mais pas une tribu; puisque certaines parties dénombrables ne sont pas mesurables.

Définition [Espace mesurable] $ (X,{\cal A})$ est un espace mesurable si $ {\cal A}$ est une tribu sur $ X$
Une partie de $ X$ est dite $ {\cal A}$-mesurable si elle appartient à $ {\cal A}$.

Dans les exemples plus haut, tous sont des $ \sigma $-algèbres, sauf c), à moins que $ X$ soit fini.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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