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$ \sigma $-algèbre engendrée

Afin de pouvoir définir la notion de $ \sigma $-algèbre engendrée, nous avons besoin d'un petit lemme (évident!):

Lemme $ X$ ensemble, $ (A_\alpha )$ famille d'algèbres (resp. de $ \sigma $ algèbres), alors $ \cap A_\alpha $ est une algèbre (resp. une $ \sigma $-algèbre.

Définition $ X$ un ensemble, $ {\cal M}\subset {\cal P}(X)$ famille de parties de $ X$, l'algèbre engendrée par $ {\cal M}$ (resp. la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ {\cal M}$) est l'intersection de toute les algèbres (resp. $ \sigma $-algèbre ) contenant $ {\cal M}$.
$ X$ un ensemble, la $ \sigma $-algèbre engendrée par une famille de fonctions de $ X$ vers des espaces mesurables est la $ \sigma $-algèbre engendrée par les images réciproques d'ensembles mesurables par ces fonctions.

C'est bien une algèbre (resp. $ \sigma $-algèbre ) et c'est la plus petite qui contienne $ {\cal M}$.

Remarque la $ \sigma $-algèbre engendré par l'image réciproque d'une famille $ {\cal F}$ de sous-ensembles de $ F$ par une application $ f:E\to F$ est l'image réciproque de la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ {\cal F}$.

Exemple fondamental:

Définition $ X$ muni d'une topologie $ {\cal T}$; la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ {\cal T}$ s'appelle la $ \sigma $-algèbre borélienne. Ses éléments sont appelés les boréliens.

Dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{R}^n$, c'est la plus petite $ \sigma $-algèbre contenant les boules ouvertes. C'est aussi la plus petite $ \sigma $-algèbre contenant les boules fermées.

Proposition La $ \sigma $-algèbre engendrée par une base d'ouverts est la $ \sigma $-algèbre engendrée par la topologie; donc lorsqu'un ensemble engendre une topologie, il engendre aussi les boréliens.
Les ensembles suivants engendrent les boréliens de $ \mathbb{R}$:
$ \bullet $les ouverts
$ \bullet $les fermés
$ \bullet $les intervalles ouverts
$ \bullet $les intervalles fermés
$ \bullet $les intervalles fermés bornés
$ \bullet $Les intervalles ouverts bornés
$ \bullet $Les $ [a,b[$ avec $ (a,b) \in \mathbb{R}^2$
$ \bullet $Les $ ]a,+\infty[$
$ \bullet $Les $ [a,+\infty[$

Les ensembles suivants engendrent les boréliens de $ \overline {\mathbb{R}}$:
$ \bullet $Les $ [a,+\infty]$
$ \bullet $Les $ ]a,+\infty]$
$ \bullet $Les $ [-\infty,a[$
$ \bullet $Les $ [-\infty,a]$

Les ensembles suivants engendrent les boréliens de $ \mathbb{R}^n$:
$ \bullet $Les ouverts
$ \bullet $Les pavés ouverts
$ \bullet $Les boules ouvertes
$ \bullet $Les bandes ouvertes:
$ \{\mathbb{R}^{i-1} \times ]a,b[ \times \mathbb{R}^{n-i}\}$
$ \bullet $Les pavés compacts
$ \bullet $Les bandes fermées:
$ \{\mathbb{R}^{i-1} \times [a,b] \times \mathbb{R}^{n-i}\}$
$ \bullet $Les bandes comme suit:
$ \{\mathbb{R}^{i-1} \times ]a,b] \times \mathbb{R}^{n-i}\}$
$ \bullet $Ou les ensembles de la forme suivante:
$ \{\mathbb{R}^{i-1} \times ]a,+\infty[ \times \mathbb{R}^{n-i}\}$

Disposer de parties génératrices petites est pratique pour certaines propriétés des boréliens.

Exemple: on munit $ \overline {\mathbb{R}}$ d'une distance comme suit:
$ d(x,y)=\vert arctan x -arctan y\vert$ avec $ arctan(\infty)=\Pi/2$ et $ arctan(-\infty)=-\Pi/2$.
Les boréliens pour cette distance sont engendrés par les $ \{]a,+\infty],a\in \mathbb{R}]$. Toute suite monotone dans $ \overline {\mathbb{R}}$ admet une limite, et toute suite dans $ \overline {\mathbb{R}}$ admet une valeur d'adhérence.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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