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Mesures

Définition [Mesure] Etant donné $ (X,{\cal A})$ mesurable, on appelle mesure une application $ \mu:{\cal A}\rightarrow [0,+\infty]$ telle que:
$ \bullet $ $ \mu(\emptyset)=0$
$ \bullet $Si les $ A_i$ sont disjoints, au plus dénombrables, alors $ \mu(\cup A_i)=\sum \mu(A_i)$ ($ \sigma $ additivité)

$ (X,{\cal A},\mu)$ est appelé espace mesuré.

Etant donné $ (X,{\cal A})$ mesurable, on appelle mesure complexe une application $ \mu:{\cal A}\rightarrow \mathbb{C}$ telle que:
$ \bullet $ $ \mu(\emptyset)=0$
$ \bullet $Si les $ A_i$ sont disjoints, au plus dénombrables, alors $ \mu(\cup A_i)=\sum \mu(A_i)$ ($ \sigma $ additivité) quel que soit l'ordre de la sommation - c'est à dire que la somme est absolument convergente.

On notera bien qu'une mesure peut prendre $ +\infty$ pour valeur, et pas une mesure complexe. Une mesure complexe n'est pas un cas particulier de mesure, et une mesure n'est pas un cas particulier de mesure complexe.

On note aussi que dans le cas des mesures complexes, le deuxième $ \bullet $ de la définition suffit à imposer le premier (pas dans le cas réel, à cause de la possibilité $ +\infty$).

Définition [Propriété vraie presque partout] Une propriété $ P$ est dite vraie presque partout si l'ensemble des éléments pour lesquels elle est fausse est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Une partie est dite négligeable si elle est incluse dans une partie de mesure nulle, c'est à dire si sa fonction caractéristique est nulle presque partout.
Un espace mesuré est dit complet si tout ensemble négligeable est mesurable (et donc de mesure 0).

Attention! Un ensemble négligeable n'est pas nécéssairement mesurable!

Une réunion dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable.

Proposition $ \bullet $$ \mu$ est finiment additive (outre qu'elle est $ \sigma $-additive)
$ \bullet $$ \mu$ est croissante ( $ \overline {\mathbb{R}}$ muni de l'ordre usuel, les ensembles mesurables munis de l'inclusion)
$ \bullet $La mesure d'une union dénombrable est inférieure ou égale à la somme des mesures.
$ \bullet $Avec $ A$ et $ B$ $ {\cal A}$-mesurables, $ \mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B)$
$ \bullet $ $ \mu(U_{i \leq n} F_i) \leq \sum_{1 \leq i \leq n} \mu(F_i)$, avec $ F_i$ $ {\cal A}$-mesurable.
$ \bullet $Si $ \mu(X)$ est finie, alors $ \mu(A \cup B)=\mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$
$ \bullet $Formule d'inclusion exclusion; avec $ F_i \in {\cal A}$, on a $ \mu(\cup_{i \leq n} F_i)=\sum_{i \leq n} \mu(F_i) - \sum_{1 \leq i<j\leq n} \m...
...leq n} \mu(F_i \cap F_j \cap F_k) ... + (-1)^{n-1}\mu(\cap_{1\leq i\leq n} F_i)$

Exemples:

Définition $ \bullet $Considérons l'espace mesurable $ (X,{\cal P}(X))$.
On considère sur X la mesure de dénombrement définie pourtout $ A\subset X$ par $ \mu({\cal A})=card(A)$ si $ A$ fini
$ \mu({\cal A})=+\infty$ sinon
$ \bullet $ $ (X,{\cal P}(X))$, soit $ a\in X$, on appelle mesure de dirac en $ a$ la fonction $ \delta _a$ telle que pour toute partie $ A$ inclue dans $ X$, $ \delta _a(A)=1$ si $ a\in A$ et 0 sinon.

Théorème Toute espace mesuré $ (X,{\cal A},\mu)$ peut être remplacé par un espace mesuré $ (X,\overline {\cal A}, \overline \mu)$ complet, avec $ {\cal A}\subset \overline {\cal A}$ et $ \overline \mu_{\vert{\cal A}}=\mu$. On peut même garantir que tout ensemble $ C$ contenant $ A$ et inclus dans $ B$ avec $ (A,B) \in {\cal A}^2$ et $ B-A$ négligeable appartient à $ \overline {\cal A}$.

Démonstration: On considère l'ensemble des parties $ C$ décrites dans le théorème ; on vérifie facilement qu'il s'agit bien d'une $ \sigma $-algèbre . Ensuite on montre que l'on peut définir la mesure de $ C$ comme égale à la mesure de $ A$, et que la définition est bien correcte. $ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Lebesguiens] La tribu obtenue à partir de la tribu des boréliens en appliquant le théorème [*] s'appelle tribu des lebesguiens. Les éléments de cette tribu sont appelés les lebesguiens.

Donc lorsque l'on travaille avec des boréliens, certains ensembles négligeables ne sont pas mesurables, alors qu'avec les lebesguiens, tous les ensembles négligeables sont mesurables.

Théorème [Théorème fondamental] Il existe une unique mesure sur $ \mathbb{R}$ muni des boréliens classique telle que $ \mu([a,b])=b-a$ pour $ b>a$. $ \mu$ s'appelle mesure de Lebesgue sur $ \mathbb{R}$.
Il existe une unique mesure sur $ \mathbb{R}^n$ muni des boréliens classiques telle que $ \mu(\Pi_i [a_i,b_i])=\Pi_i (b_i-a_i)$ pour $ b_i>a_i$. $ \mu$ s'appelle mesure de Lebesgue sur $ \mathbb{R}^n$.
La mesure de Lebesgue vérifie en outre les propriétés suivantes:
$ \bullet $à une constante de proportionnalité près, c'est la seule mesure sur les boréliens invariante par translations et finie sur les intervalles bornés.
$ \bullet $Tout ensemble au plus dénombrable est de mesure nulle.
$ \bullet $Etant donnée $ E$ une partie mesurable, la mesure de $ E$ est égale à l'$ inf$ des mesures des parties ouvertes contenant $ E$.
$ \bullet $Etant donnée $ E$ une partie mesurable, la mesure de $ E$ est égale au $ sup$ des mesures des parties compacts inclues dans $ E$.

Démonstration: Admise.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ (X,{\cal A},\mu)$ espace mesuré, $ \forall i \in \mathbb{N} A_i \in {\cal A}$.
i) Si $ A_i \subset A_{i+1}$, alors $ \mu( \cup_{i \in \mathbb{N}} A_i)=lim_{i \rightarrow + \infty} \mu(A_i)$
ii) Si $ A_{i+1} \subset A_i$ et si $ \mu(A_0) < + \infty$ alors $ \mu(\cap A_i)=lim_{i \rightarrow +\infty} \mu(A_i)$

NB: ne pas oublier la seconde condition pour la deuxième assertion; contre-exemple avec $ A_i=[i,+\infty[$.

Démonstration:
i) $ B_0=A_0$, $ B_i=A_i-A_{i-1}$, suite facile.
ii) $ \mu(D-C)=\mu(D)-\mu(C)$ si $ C \subset D$ et $ \mu(D)<+\infty$
$ B_i=A_{i-1}-A_i$
$ \cap A_i = A_0 - \cup B_k$
$ \mu(\cap A_i)=\mu(A_0)-\mu(\cup B_k)=\mu(A_0) - \sum [\mu(A_{k-1})-\mu(A_k)]$
$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [mesure finie ou $ \sigma $ -finie] $ (X,{\cal A},\mu)$ mesuré, $ \mu$ est finie si $ \mu(X)<+\infty$.
$ (X,{\cal A},\mu)$ mesuré, $ \mu$ est $ \sigma $-finie si
$ \exists (X_k \in {\cal A}) / \cup_k X_k=X \land \mu(X_k)<\infty$
Si $ \mu(X)=1$ alors $ \mu$ est appelée une mesure de probabilité.

Donc $ (\mathbb{R},{\cal B}(\mathbb{R}),\mu)$ avec $ \mu$ la mesure de Lebesgue est $ \sigma $-finie car $ \mathbb{R}=\cup_{k \in \mathbb{N}} ]-k,k[$


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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