Définition [Mesure]
Etant donné
mesurable, on appelle mesure une
application
telle que:
Si les sont disjoints, au plus dénombrables, alors
( additivité)
est appelé espace mesuré.
Etant donné
mesurable, on appelle mesure complexe
une application
telle que:
Si les sont disjoints, au plus dénombrables, alors
( additivité) quel que
soit l'ordre de la sommation - c'est à dire que la somme est absolument
convergente.
On notera bien qu'une mesure peut prendre pour
valeur, et pas une mesure complexe. Une mesure complexe n'est pas
un cas particulier de mesure, et une mesure n'est pas un cas particulier
de mesure complexe.
On note aussi que dans le cas des mesures complexes, le deuxième
de la définition suffit à imposer le premier (pas dans le cas réel,
à cause de la possibilité ).
Définition [Propriété vraie presque partout]
Une propriété est dite vraie presque partout si
l'ensemble des éléments pour lesquels elle est fausse est inclus
dans un ensemble de mesure nulle. Une partie est dite négligeable si elle
est incluse dans une partie de mesure nulle, c'est à dire si
sa fonction caractéristique est nulle presque partout.
Un espace mesuré est dit complet si tout ensemble négligeable
est mesurable (et donc de mesure 0).
Un ensemble négligeable n'est pas nécéssairement mesurable!
Une réunion dénombrable d'ensembles négligeables
est négligeable.
Proposition est finiment additive (outre qu'elle est -additive)
est croissante (
muni de l'ordre usuel, les
ensembles mesurables munis de l'inclusion)
La mesure d'une union dénombrable est inférieure ou égale à la somme des mesures.
Avec et -mesurables,
, avec -mesurable.
Si est finie, alors
Formule d'inclusion exclusion; avec
, on a
Exemples:
DéfinitionConsidérons l'espace mesurable
.
On considère sur X la mesure de dénombrement définie pourtout
par
si fini
sinon
, soit ,
on appelle mesure de dirac en la fonction telle que
pour toute partie inclue dans ,
si
et 0 sinon.
Théorème
Toute espace mesuré peut être remplacé
par un espace mesuré
complet, avec
et
. On peut même garantir
que tout ensemble contenant et inclus dans avec
et négligeable appartient à
.
Démonstration:On considère l'ensemble des parties décrites dans
le théorème ; on vérifie facilement qu'il s'agit bien d'une
-algèbre . Ensuite on montre que l'on peut définir la mesure de comme
égale à la mesure de , et que la définition est bien
correcte.
Définition [Lebesguiens]
La tribu obtenue à partir de la tribu des boréliens en appliquant le théorème
s'appelle tribu des lebesguiens. Les éléments de cette tribu sont
appelés les lebesguiens.
Donc lorsque l'on travaille avec des boréliens, certains ensembles négligeables ne
sont pas mesurables, alors qu'avec les lebesguiens, tous les ensembles négligeables sont
mesurables.
Théorème [Théorème fondamental]
Il existe une unique mesure sur
muni des boréliens classique
telle que
pour . s'appelle mesure de
Lebesgue sur
.
Il existe une unique mesure sur
muni des boréliens classiques
telle que
pour .
s'appelle mesure de Lebesgue sur
.
La mesure de Lebesgue vérifie en outre les propriétés suivantes:
à une constante de proportionnalité près, c'est la seule mesure
sur les boréliens invariante par translations et finie sur les intervalles
bornés.
Tout ensemble au plus dénombrable est de mesure nulle.
Etant donnée une partie mesurable, la mesure de
est égale à l' des mesures des parties ouvertes
contenant .
Etant donnée une partie mesurable, la mesure de
est égale au des mesures des parties compacts inclues
dans .
Démonstration:Admise.
Proposition espace mesuré,
.
i) Si
, alors
ii) Si
et si
alors
NB: ne pas oublier la seconde condition pour la deuxième assertion; contre-exemple avec
.
Démonstration:
i) ,
, suite facile.
ii)
si
et
Définition [mesure finie ou -finie] mesuré, est finie si
.
mesuré, est -finie si
Si alors est appelée une mesure de probabilité.