-systèmes, d-systèmes, et théorème de Carathéodory
Définition [-systèmes]
Un -système sur est un sous-ensemble de stable par
intersections finies.
Définition [d-système, alias classe monotone] est un d-système (on dit aussi une classe monotone si
est stable par soustraction (, , alors
).
Pour toute suite croissante, , alors
Proposition
Une intersection de d-systèmes est un d-système.
Définition [d-système engendré]
On appelle d-système engendré par un ensemble de parties de
l'intersection de tous les d-systèmes contenant .
Proposition
Un ensemble inclus dans est une -algèbre si et seulement si c'est un
-système et un d-système.
Lemme [Lemme de Dynkin]
Soit un -système, alors la -algèbre engendrée par , notée
, est égale au d-système engendré par .
Démonstration:Pour le prouver il suffit de montrer que est un système,
vu la proposition .
Pour cela on montre tout d'abord que le sous-ensemble de constitué
des éléments de dont l'intersection avec tout élément de
appartient à , est égal à . Le raisonnement est le suivant:
car:
-
- est un -système
trivialement
On montre ensuite que le sous-ensemble de constitué des éléments
de dont l'intersection avec tout élément de appartient à ,
est égal à ; en effet:
car
-
car - est un d-système
trivialement
Or est exactement l'énoncé du fait que est un -système.
Lemme Soit et deux mesures sur
coïncidant sur un -système engendrant et telles que
et
.
Alors et sont égales.
La même propriété est vraie si est de mesure -finie pour et .
Démonstration:On considère le d-système des tels que
.
Il contient un -système, donc il ne reste qu'à conclure via le lemme .
Théorème [Théorème de Carathéodory]
Soit la -algèbre engendrée par une algèbre, et -additive de dans
. alors il existe une mesure
sur dont la restriction à est . Si
,
alors cette extension est unique.
Démonstration:
L'existence est ici admise.
L'unicité résulte simplement de .
Proposition
Soit une mesure sur un espace mesurable, et une fonction mesurable de dans un autre espace mesurable; alors l'application qui à une partie mesurable de associe
est une mesure sur . On note cette mesure.
Démonstration:Facile.
Si
muni des boréliens, alors si est positive on a
Si
et si est à valeurs quelconques,
alors est pour si et seulement si
est pour , et on a alors l'égalité