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$ \Pi $-systèmes, d-systèmes, et théorème de Carathéodory

Définition [$ \Pi $-systèmes] Un $ \Pi $-système sur $ X$ est un sous-ensemble de $ P(X)$ stable par intersections finies.

Définition [d-système, alias classe monotone] $ D$ est un d-système (on dit aussi une classe monotone si
$ \bullet $$ S \in D$
$ \bullet $$ D$ est stable par soustraction ($ A\in D$, $ B\in D$, alors $ A \cap B^c \in D$).
$ \bullet $Pour toute suite $ A_n$ croissante, $ A_n \in D$, alors $ \cup A_n \in D$

Proposition Une intersection de d-systèmes est un d-système.

Définition [d-système engendré] On appelle d-système engendré par un ensemble de parties de $ X$ l'intersection de tous les d-systèmes contenant $ X$.

Proposition Un ensemble inclus dans $ P(X)$ est une $ \sigma $-algèbre si et seulement si c'est un $ \Pi $-système et un d-système.

Lemme [Lemme de Dynkin] Soit $ I$ un $ \Pi $-système, alors la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ I$, notée $ \sigma (I)$, est égale au d-système engendré par $ I$.

Démonstration: Pour le prouver il suffit de montrer que $ d(I)$ est un $ \Pi $ système, vu la proposition [*]. Pour cela on montre tout d'abord que le sous-ensemble $ D_1$ de $ d(I)$ constitué des éléments de $ d(I)$ dont l'intersection avec tout élément de $ I$ appartient à $ d(I)$, est égal à $ d(I)$. Le raisonnement est le suivant:
$ \bullet $ $ d(I) \subset D_1$ car:
- $ I \subset D_1$
- $ D_1$ est un $ \Pi $-système
$ \bullet $ $ D_1 \subset d(I)$ trivialement

On montre ensuite que le sous-ensemble $ D_2$ de $ d(I)$ constitué des éléments de $ d(I)$ dont l'intersection avec tout élément de $ d(I)$ appartient à $ d(I)$, est égal à $ d(I)$; en effet: $ \bullet $ $ d(I) \subset D_2$ car
- $ I \subset D_2$ car $ D_1=d(I)$
- $ D_2$ est un d-système
$ \bullet $ $ D_2 \subset d(I)$ trivialement

Or $ d(I)=D_2$ est exactement l'énoncé du fait que $ d(I)$ est un $ \Pi $-système.$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme $ \bullet $Soit $ \mu_1$ et $ \mu_2$ deux mesures sur $ (X,{\cal A})$ coïncidant sur un $ \Pi $-système engendrant $ {\cal A}$ et telles que $ \mu_1(X)<+\infty$ et $ \mu_2(X)<+\infty$. Alors $ \mu_1$ et $ \mu_2$ sont égales.

$ \bullet $La même propriété est vraie si $ X$ est de mesure $ \sigma $-finie pour $ \mu_1$ et $ \mu_2$.

Démonstration: On considère le d-système des $ F$ tels que $ \mu_1(F)=\mu_2(F)$. Il contient un $ \Pi $-système, donc il ne reste qu'à conclure via le lemme [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Théorème de Carathéodory] Soit $ {\cal A}$ la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ {\cal B}$ une algèbre, et $ \mu$ $ \sigma $-additive de $ {\cal B}$ dans $ [0,+\infty]$. alors il existe une mesure $ \mu'$ sur $ {\cal A}$ dont la restriction à $ {\cal B}$ est $ \mu$. Si $ \mu(X)<+\infty$, alors cette extension est unique. Démonstration: L'existence est ici admise.
L'unicité résulte simplement de [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Soit $ \mu$ une mesure sur un espace mesurable $ X$, et $ f$ une fonction mesurable de $ X$ dans $ Y$ un autre espace mesurable; alors l'application qui à une partie mesurable $ E$ de $ Y$ associe $ \mu(f^{-1}(E))$ est une mesure sur $ Y$. On note $ \mu^f$ cette mesure.

Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $Si $ Y=\mathbb{R}^n$ muni des boréliens, alors si $ \mu$ est positive on a

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} f d\mu^f = \int_X \phi \circ f d\mu$

$ \bullet $Si $ Y=\mathbb{R}^n$ et si $ f$ est à valeurs quelconques, alors $ \phi$ est $ L_1$ pour $ \mu^f$ si et seulement si $ \phi \circ f$ est $ L_1$ pour $ \mu$, et on a alors l'égalité

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} f d\mu^f = \int_X \phi \circ f d\mu$


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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