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-systèmes, d-systèmes, et théorème de Carathéodory

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$\Pi$ -systèmes, d-systèmes, et théorème de Carathéodory

Définition [ $\Pi$ -systèmes] Un $\Pi$ -système sur est un sous-ensemble de stable par intersections finies.

Définition [d-système, alias classe monotone] est un d-système (on dit aussi une classe monotone si
$\bullet$ $S \in D$
$\bullet$ est stable par soustraction ( $A\in D$ , $B\in D$ , alors $A \cap B^c \in D$ ).
$\bullet$ Pour toute suite croissante, $A_n \in D$ , alors $\cup A_n \in D$

Proposition Une intersection de d-systèmes est un d-système.

Définition [d-système engendré] On appelle d-système engendré par un ensemble de parties de l'intersection de tous les d-systèmes contenant .

Proposition Un ensemble inclus dans est une $\sigma$ -algèbre si et seulement si c'est un $\Pi$ -système et un d-système.

Lemme [Lemme de Dynkin] Soit un $\Pi$ -système, alors la $\sigma$ -algèbre engendrée par , notée $\sigma (I)$ , est égale au d-système engendré par .

Démonstration: Pour le prouver il suffit de montrer que est un $\Pi$ système, vu la proposition . Pour cela on montre tout d'abord que le sous-ensemble de constitué des éléments de dont l'intersection avec tout élément de appartient à , est égal à . Le raisonnement est le suivant:
$\bullet$ $d(I) \subset D_1$ car:
- $I \subset D_1$
- est un $\Pi$ -système
$\bullet$ $D_1 \subset d(I)$ trivialement

On montre ensuite que le sous-ensemble de constitué des éléments de dont l'intersection avec tout élément de appartient à , est égal à ; en effet: $\bullet$ $d(I) \subset D_2$ car
- $I \subset D_2$ car
- est un d-système
$\bullet$ $D_2 \subset d(I)$ trivialement

Or est exactement l'énoncé du fait que est un $\Pi$ -système. $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme $\bullet$ Soit $\mu_1$ et $\mu_2$ deux mesures sur $(X,{\cal A})$ coïncidant sur un $\Pi$ -système engendrant ${\cal A}$ et telles que $\mu_1(X)<+\infty$ et $\mu_2(X)<+\infty$ . Alors $\mu_1$ et $\mu_2$ sont égales.

$\bullet$ La même propriété est vraie si est de mesure $\sigma$ -finie pour $\mu_1$ et $\mu_2$ .

Démonstration: On considère le d-système des tels que $\mu_1(F)=\mu_2(F)$ . Il contient un $\Pi$ -système, donc il ne reste qu'à conclure via le lemme . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Théorème de Carathéodory] Soit ${\cal A}$ la $\sigma$ -algèbre engendrée par ${\cal B}$ une algèbre, et $\mu$ $\sigma$ -additive de ${\cal B}$ dans $[0,+\infty]$ . alors il existe une mesure $\mu'$ sur ${\cal A}$ dont la restriction à ${\cal B}$ est $\mu$ . Si $\mu(X)<+\infty$ , alors cette extension est unique. Démonstration: L'existence est ici admise.
L'unicité résulte simplement de . $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Soit $\mu$ une mesure sur un espace mesurable , et une fonction mesurable de dans un autre espace mesurable; alors l'application qui à une partie mesurable de associe $\mu(f^{-1}(E))$ est une mesure sur . On note $\mu^f$ cette mesure.

Démonstration: Facile. $\sqcap$ $\sqcup$

$\bullet$ Si $Y=\mathbb{R}^n$ muni des boréliens, alors si $\mu$ est positive on a

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}^d} f d\mu^f = \int_X \phi \circ f d\mu$

$\bullet$ Si $Y=\mathbb{R}^n$ et si est à valeurs quelconques, alors $\phi$ est pour $\mu^f$ si et seulement si $\phi \circ f$ est pour $\mu$ , et on a alors l'égalité