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Parties non mesurables

Théorème [Banach et Tarski] $ \bullet $Il existe un ensemble $ F$ inclus dans la sphère unité $ S_2$ de $ \mathbb{R}^3$ tel que pour tout $ k\geq 3$ (éventuellement $ k=\infty$), $ S_2$ est la réunion disjointe de $ k$ images de $ F$ par des rotations. Façon amusante de constater qu'on ne peut pas mesurer n'importe quoi... Cette preuve nécessite l'axiome du choix.
$ \bullet $On peut même aller plus loin et étant donnés $ A$ et $ B$ d'intérieurs non vides de $ \mathbb{R}^3$, on peut décomposer $ A$ en une réunion de $ A_i$ finie, et $ B$ en une réunion de $ B_i$ de même cardinal, avec $ A_i$ et $ B_i$ égaux via une rotation et une translation.

$ \bullet $Si l'on n'utilise pas l'axiome du choix, alors on peut utiliser à sa place un autre axiome, qui affirme que toute partie de $ \mathbb{R}$ est mesurable.



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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