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Exercices sur les $ \sigma $-algèbre et les mesures

$ \bullet $Soit $ {\cal A}\subset P(E)$.
- Supposons $ E \in {\cal A}$ et $ {\cal A}$ stable par soustraction. Montrer que $ {\cal A}$ est une algèbre.
Démonstration: Il suffit de vérifier que $ E$ et $ \emptyset$ sont dans $ {\cal A}$, que l'on a bien stabilité par passage au complémentaire, et stabilité par union de deux éléments car $ E-(E-A-B)=A\cup B$.$ \sqcap$$ \sqcup$
- Supposons $ E \in {\cal A}$, $ {\cal A}$ stable par passage au complémentaire, et stable par union disjointe. Montrer que $ {\cal A}$ n'est pas nécessairement une $ \sigma $-algèbre .
$ \sqcap$$ \sqcup$Considérer l'ensemble des parties de cardinal pair de $ \{a,b,c,d\}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet $Montrer que la réunion d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.

$ \bullet $Montrer que la réunion d'une suite croissante de $ \sigma $-algèbres n'est pas nécessairement une $ \sigma $-algèbre .
Démonstration: Considérer les $ \sigma $-algèbre sur $ \mathbb{N}$ engendrées respectivement par $ \{\{1\}\}$, $ \{ \{1\}, \{2\} \}$, $ \{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \}$; la réunion n'est pas une $ \sigma $-algèbre car par exemple l'ensemble des entiers pairs n'en fait pas partie.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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