Exercices sur les $\sigma$ -algèbre et les mesures

$\bullet$ Soit ${\cal A}\subset P(E)$ .
- Supposons $E \in {\cal A}$ et ${\cal A}$ stable par soustraction. Montrer que ${\cal A}$ est une algèbre.
Démonstration: Il suffit de vérifier que et $\emptyset$ sont dans ${\cal A}$ , que l'on a bien stabilité par passage au complémentaire, et stabilité par union de deux éléments car $E-(E-A-B)=A\cup B$ . $\sqcap$ $\sqcup$
- Supposons $E \in {\cal A}$ , ${\cal A}$ stable par passage au complémentaire, et stable par union disjointe. Montrer que ${\cal A}$ n'est pas nécessairement une $\sigma$ -algèbre .
$\sqcap$ $\sqcup$ Considérer l'ensemble des parties de cardinal pair de $\{a,b,c,d\}$ . $\sqcap$ $\sqcup$

$\bullet$ Montrer que la réunion d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.

$\bullet$ Montrer que la réunion d'une suite croissante de $\sigma$ -algèbres n'est pas nécessairement une $\sigma$ -algèbre .
Démonstration: Considérer les $\sigma$ -algèbre sur $\mathbb{N}$ engendrées respectivement par $\{\{1\}\}$ , $\{ \{1\}, \{2\} \}$ , $\{ \{1\}, \{2\}, \{3\} \}$ ; la réunion n'est pas une $\sigma$ -algèbre car par exemple l'ensemble des entiers pairs n'en fait pas partie. $\sqcap$ $\sqcup$