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Fonctions mesurables

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Fonctions mesurables

Définition [Fonction mesurable] Etant donnés $(X,{\cal A})$ et $(X,{\cal B})$ des espaces mesurables, $f:X\rightarrow Y$ est dite mesurable si $\forall B \in {\cal B} f^{-1}(B) \in {\cal A}$
On définit parfois aussi la notion de fonction mesurable d'un espace mesurable vers un espace topologique; la condition est alors le fait que l'image réciproque d'un ouvert soit une partie mesurable.

Une fonction caractéristique d'un ensemble est mesurable si et seulement si l'ensemble est mesurable.

Si est topologique et qu'on n'a rien précisé, la tribu ${\cal B}$ est celle des boréliens.

Proposition Avec les conditions de la définitions, si ${\cal B}$ est la $\sigma$ -algèbre engendrée par ${\cal M}$ , alors est mesurable si et seulement $\forall {\cal B}\in {\cal M} f^{-1}(B) \in {\cal A}$

Démonstration: Le sens $\rightarrow$ est trivial.
Pour le sens $\leftarrow$ , considérons l'ensemble des $B \in {\cal B}$ tels que $f^{-1}(B) \in {\cal A}$ , c'est une $\sigma$ -algèbre de ; d'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire $\bullet$ Si $f:(X,{\cal A}) \rightarrow Y$ avec topologique, mesurable si et seulement si $\forall U$ ouvert $, f^{-1}(U) \in {\cal A}$
$\bullet$ $f_k:(X,{\cal A}) \rightarrow \overline {\mathbb{R}}$ ou $[0,+\infty]$ mesurable
alors la fonction qui à associe est mesurable.

Démonstration: Le premier point est clair.
Pour le second on considère $f^{-1}(]a,+\infty])= \{ x / sup \{f_k(x)\}>a\}$
$= \{ x / \exists k \in \mathbb{N}f_k(x)>a \} = \cup_{k\in \mathbb{N}} \{x / f_k(x)>a\}$
$= \cup f_k^{-1}(]a,+\infty[)$ qui appartient à ${\cal A}$ car mesurable et ${\cal A}$ $\sigma$ -algèbre . $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition La composition de deux fonctions mesurables est mesurable.
mesurable et continue alors $g \circ f$ est mesurable.

Corollaire Si est mesurable de dans $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$ , alors , , $\vert f\vert$ sont mesurables.

Proposition mesurable de dans avec topologique, mesurable de dans avec topologique, et à bases dénombrables d'ouverts. alors $(f,g) : X \rightarrow Y \times Z$ est mesurable pour la topologie produit.

Corollaire $\bullet$ et mesurables de $(X,{\cal A})$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ , alors , , , ( ne s'annulant pas), sont mesurables.
$\bullet$ de $(X,{\cal A})$ dans $\mathbb{C}$ est mesurable si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont mesurables.
$\bullet$ de $(X,{\cal A})$ dans $\mathbb{C}$ est mesurable si et seulement si la fonction $\vert f\vert$ et la fonction $x \mapsto arg(f(x))$ sont mesurables
$\bullet$ de $(X,{\cal A})$ dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}$ est mesurable si et seulement si et sont mesurables.