Définition [Fonction mesurable]
Etant donnés
et
des espaces mesurables,
est dite mesurable si
On définit parfois aussi la notion de fonction mesurable d'un
espace mesurable vers un espace topologique; la condition est alors le fait que
l'image réciproque d'un ouvert soit une partie mesurable.
Une fonction caractéristique d'un ensemble est mesurable si et seulement si l'ensemble est mesurable.
Si est topologique et qu'on n'a rien précisé, la tribu est celle des boréliens.
PropositionAvec les conditions de la définitions, si est la -algèbre engendrée par , alors est mesurable si et seulement
Démonstration:Le sens
est trivial.
Pour le sens
, considérons l'ensemble des
tels que
, c'est une -algèbre de ; d'où le résultat.
CorollaireSi
avec topologique, mesurable si et seulement si
ouvert ou mesurable
alors la fonction qui à associe
est mesurable.
Démonstration:Le premier point est clair.
Pour le second on considère
qui appartient à car mesurable et
-algèbre .
Proposition
La composition de deux fonctions mesurables est mesurable.
mesurable et continue alors est mesurable.
Corollaire
Si est mesurable de dans
ou
, alors , , sont mesurables.
Proposition mesurable de dans avec topologique,
mesurable de dans avec topologique,
et à bases dénombrables d'ouverts.
alors
est mesurable
pour la topologie produit.
Corollaire et mesurables de
dans
ou
, alors
, , , ( ne s'annulant pas), sont mesurables.
de
dans
est mesurable si et seulement si
sa partie réelle et sa partie imaginaire sont mesurables.
de
dans
est mesurable si et seulement si
la fonction et la fonction
sont
mesurables
de
dans
ou
est mesurable si et seulement
si et sont mesurables.