Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
188 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Fonctions mesurables next up previous index
suivant: Suites de fonctions mesurables monter: Intégration précédent: Exercices sur les -algèbre   Index

Fonctions mesurables

Définition [Fonction mesurable] Etant donnés $ (X,{\cal A})$ et $ (X,{\cal B})$ des espaces mesurables, $ f:X\rightarrow Y$ est dite mesurable si $ \forall B \in {\cal B} f^{-1}(B) \in {\cal A}$
On définit parfois aussi la notion de fonction mesurable d'un espace mesurable vers un espace topologique; la condition est alors le fait que l'image réciproque d'un ouvert soit une partie mesurable.

Une fonction caractéristique d'un ensemble est mesurable si et seulement si l'ensemble est mesurable.

Si $ Y$ est topologique et qu'on n'a rien précisé, la tribu $ {\cal B}$ est celle des boréliens.

Proposition Avec les conditions de la définitions, si $ {\cal B}$ est la $ \sigma $-algèbre engendrée par $ {\cal M}$, alors $ f$ est mesurable si et seulement $ \forall {\cal B}\in {\cal M} f^{-1}(B) \in {\cal A}$

Démonstration: Le sens $ \rightarrow$ est trivial.
Pour le sens $ \leftarrow$, considérons l'ensemble des $ B \in {\cal B}$ tels que $ f^{-1}(B) \in {\cal A}$, c'est une $ \sigma $-algèbre de $ Y$; d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire $ \bullet $Si $ f:(X,{\cal A}) \rightarrow Y$ avec $ Y$ topologique, $ f$ mesurable si et seulement si $ \forall U$    ouvert $ , f^{-1}(U) \in {\cal A}$
$ \bullet $ $ f_k:(X,{\cal A}) \rightarrow \overline {\mathbb{R}}$    ou $ [0,+\infty]$ mesurable
alors la fonction $ f$ qui à $ x$ associe $ sup_k f_k(x)$ est mesurable.

Démonstration: Le premier point est clair.
Pour le second on considère $ f^{-1}(]a,+\infty])= \{ x / sup \{f_k(x)\}>a\}$
$ = \{ x / \exists k \in \mathbb{N}f_k(x)>a \} = \cup_{k\in \mathbb{N}} \{x / f_k(x)>a\}$
$ = \cup f_k^{-1}(]a,+\infty[)$ qui appartient à $ {\cal A}$ car $ f_k$ mesurable et $ {\cal A}$ $ \sigma $-algèbre .$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition La composition de deux fonctions mesurables est mesurable.
$ f$ mesurable et $ g$ continue alors $ g \circ f$ est mesurable.

Corollaire Si $ f$ est mesurable de $ X$ dans $ \mathbb{C}$ ou $ \mathbb{R}$, alors $ Re(f)$, $ Im(f)$, $ \vert f\vert$ sont mesurables.

Proposition $ f$ mesurable de $ X$ dans $ Y$ avec $ Y$ topologique, $ g$ mesurable de $ X$ dans $ Z$ avec $ Z$ topologique, $ Y$ et $ Z$ à bases dénombrables d'ouverts. alors $ (f,g) : X \rightarrow Y \times Z$ est mesurable pour la topologie produit.

Corollaire $ \bullet $$ f$ et $ g$ mesurables de $ (X,{\cal A})$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C}$, alors $ f+g$, $ f-g$, $ fg$, $ f/g$ ($ g$ ne s'annulant pas), sont mesurables.
$ \bullet $$ f$ de $ (X,{\cal A})$ dans $ \mathbb{C}$ est mesurable si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont mesurables.
$ \bullet $$ f$ de $ (X,{\cal A})$ dans $ \mathbb{C}$ est mesurable si et seulement si la fonction $ \vert f\vert$ et la fonction $ x \mapsto arg(f(x))$ sont mesurables
$ \bullet $$ f$ de $ (X,{\cal A})$ dans $ \mathbb{R}$ ou $ \mathbb{R}$ est mesurable si et seulement si $ f^+$ et $ f^-$ sont mesurables.


next up previous index
suivant: Suites de fonctions mesurables monter: Intégration précédent: Exercices sur les -algèbre   Index
C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page