Proposition
Soit un espace vectoriel normé de dimension finie et de dans
telle que
Alors est minorée et atteint son minimum.
Démonstration:
On se donne tel que
implique .
On considère alors
. est fermé car on est en dimension finie (les compacts
d'un espace vectoriel normé de dimension finie sont les fermés bornés). atteint donc sa borne inf (voir corollaire
).
Corollaire [Quelques applications]
La distance d'un point à un fermé non vide est minorée et le minimum est atteint.
Aussi les trois applications suivantes, empruntées à [15]:
- étant donnée une application de dans
, il existe un polynôme minimisant
parmi les polynômes de degré .
- le théorème de D'Alembert-Gauss, stipulant que tout polynôme à coefficients complexes et de degré admet une racine, en considérant
(corollaire: tout polynôme à coefficients dans
est scindé dans
).
Voir le corollaire sur la trigonalisation de matrices complexes, ou la partie sur les suites récurrentes linéaires.