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Résultats liés à la compacité

Proposition Soit $ E$ un espace vectoriel normé de dimension finie et $ f$ $ C^0$ de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ telle que

$\displaystyle lim_{{\parallel}x {\parallel}\to \infty} f(x) = \infty$

Alors $ f$ est minorée et atteint son minimum.

Démonstration: On se donne $ A>0$ tel que $ {\parallel}x {\parallel}> A$ implique $ f(x)>f(0)$. On considère alors $ K=\overline B(0,A)$. $ K$ est fermé car on est en dimension finie (les compacts d'un espace vectoriel normé de dimension finie sont les fermés bornés). $ f$ atteint donc sa borne inf (voir corollaire [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Quelques applications]

$ \bullet\ $La distance d'un point à un fermé non vide est minorée et le minimum est atteint.

$ \bullet\ $Aussi les trois applications suivantes, empruntées à [15]:

- étant donnée une application $ f$ $ C^0$ de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$, il existe un polynôme $ P$ minimisant $ {\parallel}f-P {\parallel}_\infty$ parmi les polynômes de degré $ \leq n$.

- le théorème de D'Alembert-Gauss, stipulant que tout polynôme à coefficients complexes et de degré $ \geq 1$ admet une racine, en considérant $ z \mapsto \vert P(z)\vert$ (corollaire: tout polynôme à coefficients dans $ \mathbb{C}$ est scindé dans $ \mathbb{C}[X]$).

Application(s)... Voir le corollaire [*] sur la trigonalisation de matrices complexes, ou la partie [*] sur les suites récurrentes linéaires.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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