Proposition
Soit un espace vectoriel normé de dimension finie et de dans
telle que
Alors est minorée et atteint son minimum.
Démonstration:
On se donne tel que
implique .
On considère alors
. est fermé car on est en dimension finie (les compacts
d'un espace vectoriel normé de dimension finie sont les fermés bornés). atteint donc sa borne inf (voir corollaire
).
Corollaire [Quelques applications]
La distance d'un point à un fermé non vide est minorée et le minimum est atteint.
Aussi les trois applications suivantes, empruntées à [15]:
- étant donnée une application de dans
, il existe un polynôme minimisant
parmi les polynômes de degré .
- le théorème de D'Alembert-Gauss, stipulant que tout polynôme à coefficients complexes et de degré admet une racine, en considérant
(corollaire: tout polynôme à coefficients dans
est scindé dans
).
Voir le corollaire sur la trigonalisation de matrices complexes, ou la partie sur les suites récurrentes linéaires.
un espace vectoriel normé de dimension finie et 
de 
telle que
tel que
implique 
.
On considère alors
. 
est fermé car on est en dimension finie (les compacts![[*]](/images/crossref.png)
La distance![$ [0,1]$](/a/a/j/img28.png){kind=small}
dans
minimisant
parmi les polynômes de degré 
.
admet une racine, en considérant
(corollaire: tout polynôme à coefficients dans
est scindé dans
![$ \mathbb{C}[X]$](/a/a/j/img35.png){kind=small}
).
Voir le corollaire 
