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Résultats au premier ordre

Théorème [Condition nécéssaire du premier ordre] Si $ x$ est un minimum relatif de $ f$ et si $ f$ est différentiable en $ x$, alors la différentielle de $ f$ en $ x$ est nulle.

Démonstration:

$ df(x)(h)\geq 0$ car $ \frac{f(x+th)-f(x)}{t} \geq 0$ si $ t\geq 0$

$ df(x)(h)\leq 0$ car $ \frac{f(x+th)-f(x)}{t} \leq 0$ si $ t\leq 0$$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Pas de réciproque; par exemple $ x\mapsto x^3$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ a une différentielle nulle en 0 et n'a ni maximum ni minimum en zéro.

Définition Si $ df(x)=0$, on dit que $ x$ est un point critique.

Pour aller plus loin on peut s'intéresser aux extréma liés; voir pour cela [7].



C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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