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Résultats du second ordre

Théorème [Condition nécéssaire du second ordre]

Soit $ f$ deux fois différentiable en $ x$.

Alors si $ f$ admet un minimum local en $ x$, $ f''(x)$ est positive.

Démonstration:

Supposons $ f''(x)$ non positive; alors il existe $ v$ tel que $ f''(x)(v,v)$ soit $ <0$. On se donne un voisinage $ V$ de $ x$ sur lequel $ f\leq f(x)$ et sur lequel la formule de Taylor-Young [*] donne

$\displaystyle f(x+t.v)\leq f(x) + \frac14 f''(x) (t v,t v)$

(rappelons que par le résultat précédent $ f'(x)$ est nul)

on peut toujours choisir un tel voisinage $ V$ car

$\displaystyle f(x+t.v) = f(x)+\frac12 f''(x) (t v,t v) + o(t^2)$

pour $ t$ assez petit

et donc $ f(x+tv)-f(x)$ est alors négatif pour ces valeurs de $ t$ (à part pour $ t=0$).$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Condition suffisante du second ordre] Supposons $ E$ de dimension finie. Soit $ f$ deux fois différentiables en $ x$, $ f'(x)=0$, et $ f''(x)$ définie positive. Alors $ f$ admet un minimum relatif strict en $ x$.

Démonstration: On considère simplement un minimum de $ f''(x)(u,u)$ pour $ {\parallel}u {\parallel}=1$ et la conclusion vient rapidement.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque On peut se passer d'hypothèse de dimension finie à condition d'imposer que $ f''(x)$ vérifie $ \exists \alpha >0 / f''(x)(u,u)>\alpha {\parallel}u {\parallel}^2$.


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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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