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Sous-sections

Equation de la chaleur

$ \boxcircle$ Le problème

Définition On définit $ \Omega=]0,1[\times \mathbb{R}^{+*}$; $ \overline \Omega$ désigne l'adhérence de $ \Omega$ dans $ \mathbb{R}^2$, c'est à dire $ [0,1]\times \mathbb{R}^+$. On cherche $ u$ continue de $ \overline \Omega$ dans $ \mathbb{R}$, telle que $ u_{\vert\Omega }$ soit $ C^\infty$ et vérifie

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}-{\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}}=0$

(équation de la chaleur) avec les conditions aux limites (CLs):

$\displaystyle u(0,t)=u(1,t)=0$

et les conditions initiales (CIs):

$\displaystyle u(x,0)=h(x)$

avec $ h$ une certaine fonction continue de $ [0,1]$ dans $ \mathbb{R}$, $ C^1$ sur $ ]0,1[$, telle que $ h(0)=h(1)=0$ (indispensable pour que les CLs puissent être vérifiées).

$ \boxcircle$ La méthode

Pour attaquer cette équation, comme d'autres équations vérifiant une équation de la même forme (dérivée première en fonction du temps égale à une dérivée seconde (un laplacien) en coordonnées d'espace), on cherche en fait une solution $ u(x,t)=f(x)g(t)$ s'exprimant comme produit d'un terme d'espace par un terme de temps. On ne se préoccupera pas pour le moment de la CI. Une fois des solutions trouvées, on remarquera que les solutions forment un espace vectoriel. On cherchera alors une solution combinaison linéaire vérifiant la CI. Pour cela, puisqu'on aura remarqué que nos solutions en $ x$ sont des sinusoïdes (ayant toutes pour fréquence un multiple d'une certaine fréquence fondamentale) on considèrera l'antisymétrisée de la fonction des CI, pour considérer un développement en série de Fourier qui ne comporte que des sinusoïdes (il n'y aura pas de cosinusoïdes puisque l'on considèrera une fonction impaire!). On obtiendra ainsi une solution. Il existe une preuve d'unicité, qui ne sera pas exposée ici: on la trouvera par exemple dans [22, p103].

$ \boxcircle$ Les calculs

Ecrivons

$\displaystyle u(x,t)=f(x)g(t)$

Alors l'équation de la chaleur s'écrit

$\displaystyle f(x)g'(t)=f''(x)g(t)$

$\displaystyle \frac{g'(t)}{g{t}}=\frac{f''(x)}{f(x)}={\lambda}$

Ce terme est indépendant de $ x$ (à cause du terme de gauche) et de $ t$ (à cause du terme de droite). $ {\lambda}$ est donc une constante. Le cas $ {\lambda}>0$ et le cas $ {\lambda}=0$ nous amènent, via les CLs, au cas $ u=0$, peu intéressant. Il reste donc seulement le cas $ {\lambda}<0$. On a une équation de degré $ 2$, qu'on peut réécrire comme une équation de degré $ 1$,

$\displaystyle f''(x)={\lambda}f(x)$ équivaut à $\displaystyle \left( \begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \end{array} \right)' = \left( ...
...a}& 0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \end{array} \right)$

Cette équation est linéaire, et admet donc des solutions sur tout $ ]0,1[$; il s'agit d'une équation homogène (pas de second membre) elle est dans un espace de dimension $ 2$, donc l'espace des solutions est de dimension $ 2$. On a deux solutions évidentes: $ x\mapsto cos({\omega}x)$ et $ x \mapsto sin({\omega}x)$ (avec $ {\omega}^2=-{\lambda}$). La solution cosinusoïde ne satisfait pas les CLs, donc on garde les sinusoïdes. On déduit des CLs que $ {\omega}$ doit être de la forme $ {\omega}_n=n\Pi$ pour $ n\in \mathbb{N}$. Pour $ g$, l'espace des solutions est de dimension $ 1$, il s'agit d'une exponentielle décroissante, $ x\mapsto Ce^{-{\omega}^2 t}$ (on applique l'équation de la chaleur pour trouver le $ {\omega}^2$, où on remarque et on utilise l'équation $ \frac{g'}{g}={\lambda}$ de la page précédente). On a donc des solutions en $ u:(x,t) \mapsto e^{-{\omega}_n^2 t} sin({\omega}_n x)$. On note que les solutions sont un espace vectoriel. On a donc pour solution de l'équation de la chaleur et des CLs au moins (on n'a pas prouvé que c'étaient là les seules solutions) les combinaisons linéaires de solutions de cette forme. On va en fait considérer aussi les combinaisons linéaires infinies $ \sum_{n\geq 0} a_n e^{-{\omega}_n^2 t} sin({\omega}_n x)$, pourvu que la série $ \sum a_n$ soit absolument convergente; ainsi les théorèmes de dérivation sous le signe intégrale s'appliquent et la combinaison linéaire obtenue est bien une solution de l'équation. On se préoccupe maintenant des CIs, en cherchant une solution combinaison linéaire des solutions trouvées ci-dessus. On voudrait donc $ h(x)=\sum_{n\geq 0} a_n\sin(n\Pi x)$. On va donc décomposer $ h$ en série de Fourier. Pour cela on va choisir $ h$ impaire, pour n'avoir que des sinusoïdes. Donc on définit $ h$ sur $ [-1,0]$ par $ h(-x)=-h(x)$. Ensuite on prolonge $ h$ par $ 2$ périodicité. On a alors $ h(x)=\sum_{n\geq 0} a_n\sin(n\Pi x)$, avec convergence normale de la somme des $ a_n$ puisque $ h$ est $ C^1$ (pas de problème en 0 ou en $ 1$ car $ h(0)=h(1)=0$). L'unicité de la solution ainsi obtenue ne sera pas détaillée ici; voir [22, p103].
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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