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Equations à variables séparées

Définition On appelle équation à variables séparée une équation différentielle que l'on peut réécrire sous la forme

$\displaystyle x'=f(t)g(x)$

$ \bullet\ $Si $ g$ s'annule en une valeur particulière $ x_p$, alors la fonction constante $ x=x_p$ est clairement solution particulière. $ \bullet\ $L'équation peut se réécrire $ \frac{dx}{g(x)}=f(t)dt$, et donc on obtient en intégrant chaque membre une expression de $ \int 1/g$ en fonction de $ \int f$. Il est clair que $ \int 1/g$ est continue strictement monotone sur les intervalles sur lesquels $ g(x)$ ne s'annule pas, et que donc on en déduit $ x$ en fonction de $ t$ en considérant l'inverse de $ \int 1/g$. Par les résultats d'unicité si la condition initiale $ (t_0,x_0)$ est telle que $ g(x_0)\neq 0$ alors par le lemme [*] (si les fonctions en jeu vérifient bien les conditions énoncées!) on a $ \forall t, g(x(t))\neq 0$ si $ x$ est une solution maximale (en effet en cas contraire $ x$ serait la fonction constante égale à $ x_p$ avec $ g(x_p)=0$), et donc on obtient bien ainsi des solutions maximales. On trouvera dans [9] un exemple bien détaillé.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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