Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
178 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Lemmes préliminaires next up previous index
suivant: Equations différentielles d'ordre monter: Equations différentielles précédent: Equations différentielles   Index

Lemmes préliminaires

Lemme [Lemme de Gronwall] Soit $ \phi$ une fonction $ C^0$ de l'intervalle $ [a,b]$ dans $ \mathbb{R}^+$. Soit $ c\in[a,b]$, soient $ A,B$ des réels positifs. Supposons que pour tout $ t$ dans $ [a,b]$, on ait

$\displaystyle \phi(t)\leq A + B \left \vert\int_c^t \phi(u).du\right \vert$

Alors pour tout $ t$ dans $ [a,b]$

$\displaystyle \phi(t)\leq A\ e^{B\vert t-c\vert}$

Démonstration: Pour $ t \geq c$, on définit $ F(t)=A+B\int_C^t \phi(s).ds$. $ F$ est $ C^1$. Calculons la dérivée de $ t \mapsto e^{-Bt}.F(t)$; cette dérivée est

$\displaystyle e^{-Bt}(-B\ F(t) +B\phi(t))$

donc est $ \leq 0$ sur $ [c,b]$. Le résultat en découle immédiatement pour $ t \geq c$. Pour le cas restant, $ t\leq c$, on définit $ F(t)=A+B\int_t^c\phi(u)du$; $ F$ est $ C^1$. Calculons la dérivée de $ t \mapsto e^{Bt}.F(t)$; cette dérivée est

$\displaystyle e^{Bt}(B\ F(t) -B\phi(t))$

donc est $ \geq 0$ sur $ [a,c]$. Le résultat en découle immédiatement pour $ t\leq c$.$ \sqcap$$ \sqcup$

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page