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Equations différentielles d'ordre $ 1$

Définition On appelle équation différentielle du premier ordre une équation de la forme

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(t,x)$

avec $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $ m$, $ U$ une partie (non nécessairement ouverte ! ) de $ \mathbb{R}\times E$, et $ f$ une application de $ U$ dans $ E$, avec $ f$ continue. On appelle solution de cette équation une application $ \phi$ dérivable de $ I$ dans $ E$ avec $ I$ un connexe de $ \mathbb{R}$ (i.e. un intervalle) telle que $ \{ (t,\phi(t)) /t\in I\}\subset U$ et $ \phi'(t)=f(t,\phi(t))$ pour tout $ t$ dans $ I$.
Proposition Une solution d'une équation différentielle est nécessairement $ C^1$.
Démonstration: L'équation exprime notamment le fait que la dérivée de sa solution est $ C^0$.$ \sqcap$$ \sqcup$ Remarque (forme intégrale): $ \phi : I \to E$ est une solution de $ \frac{\partial x}{\partial t}=f(t,x)$ de donnée initiale $ \phi(c)=x_0$ si et seulement si pour tout $ t$ dans $ I$, $ \phi(t)=\phi(c)+\int_c^t f(u,\phi(u))du$.

Sous-sections

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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