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Avec des hypothèses sympathiques sur $ f$

Définition Une fonction de deux variables $ (x,y)\in X\times Y \mapsto f(x,y)$ est dite localement lipschitzienne en $ y$ si pour tout $ (x,y)$ il existe un scalaire $ k$ et $ V$ un voisinage de $ (x,y)$ dans $ X \times Y$ tel que pour tous $ x',y_1,y_2$ tel que $ (x',y_1) \in V$ et $ (x',y_2) \in V$ on ait

$\displaystyle {\parallel}f(x',y_1) - f(x',y_2) {\parallel}\leq k.{\parallel}y_1 - y_2 {\parallel}$


Lemme [Unicité] Si $ f$ est localement lipschitzienne en $ x$, alors si $ \phi_1$ et $ \phi_2$ sont deux solutions sur un même intervalle ayant même valeur en un certain $ t$, alors $ \phi_1=\phi_2$.
Démonstration: Donnons nous $ \phi_1$ et $ \phi_2$ deux solutions, égales en $ t$. Pour simplifier le raisonnement on va supposer qu'il existe $ t''>t$ tel que $ \phi_1(t'')\neq \phi_2(t'')$. En cas contraire, on raisonnerait de même en considérant $ t''<t$ vérifiant cette propriété. Soit $ t'$ l'inf de ces $ t''$. Par continuité, $ \phi_2(t')=\phi_1(t')$. Soit $ V$ l'intersection de $ [t',\infty[$ et d'un voisinage de $ t'$ tel que $ \{ (t,\phi_1(t)) /t\in V \}$ et $ \{ (t,\phi_2(t)) /t \in V$ restent dans un voisinage de $ (t',\phi'(t'))$ sur lequel $ f$ est $ C$-lipschitzienne en $ y$. Pour $ v$ dans $ V$, on a $ \phi_i'(v)=f(v,\phi_i(v))$, et donc

$\displaystyle \phi_1(v)-\phi_2(v) = \int_0^t f(u,\phi_1(u))-f(u,\phi_2(u))du$

$\displaystyle \vert\phi_1(v)-\phi_2(v)\vert \leq C \int_0^v \vert\phi_1(u)-\phi_2(u)\vert du$

Donc par le lemme de Gronwall on conclut que $ \phi_1$ et $ \phi_2$ sont égales sur $ V$, ce qui est contradictoire avec la définition de $ t'$. $ \sqcap$$ \sqcup$
$ \,$
Lemme [Existence] On se donne une fonction $ f$ $ C^0$ de $ [t_0-a,t_0+a] \times \overline B(x_0,b) \times \overline B({\lambda}_0,c)$ dans $ \mathbb{R}^n$, la boule $ \overline B(x_0,b)$ étant une boule de $ \mathbb{R}^n$, et la boule $ \overline B({\lambda}_0,c)$ étant une boule compacte ou un seul point d'un espace métrique. On suppose qu'il existe $ C$ tel que $ {\parallel}f(t,x_1,{\lambda}) - f(t,x_2,{\lambda}) {\parallel}\leq C {\parallel}x_1 - x_2 {\parallel}$, et on se donne $ M$ tel que $ \vert f(t,x)\vert$ est borné par $ M$ sur $ [t_0-a,t_0+a] \times \overline B(x_0,b) \times \overline B({\lambda}_0,c)$ (un tel $ M$ existe nécessairement par continuité de $ f$ sur $ [t_0-a,t_0+a] \times \overline B(x_0,b) \times \overline B({\lambda}_0,c)$ qui est compact). Alors il existe une fonction $ \phi(.,\lambda)$ telle que $ \frac{\partial \phi(t,\lambda)}{\partial t}=f(t,\phi(t,\lambda),\lambda)$, définie sur $ [t_0-T,t_0+T]\times \overline B({\lambda}_0,c)$, avec $ T$ le min de $ a$ et $ b/M$, et telle que pour tout $ {\lambda}$ $ \phi(t_0,{\lambda})=x_0$; en outre cette fonction est continue par rappport à $ t$ et $ \lambda$.
Pour y voir plus clair Le paramètre $ t$ de la fonction $ f(t,x,{\lambda})$ peut être vu comme le paramètre temporel; c'est une fonction de $ t$ que l'on cherche comme solution. $ \phi$ est la fonction solution, dépendant de $ t$. Quant à $ {\lambda}$, c'est un paramètre désignant les conditions initiales. Le lemme est directement donné sous-une forme très générale; mais le cas d'une boule $ \overline B({\lambda}_0,c)$ compacte réduite à un point n'est pas à négliger; il s'agit en fait du cas le plus courant, l'intérêt d'introduire une boule étant simplement de montrer la continuité par rapport aux conditions initiales. Pour y voir plus clair L'hypothèse de l'existence de $ C$ sera notamment vérifiée si les dérivées partielles de $ f$ par rapport aux $ n$ composantes de $ \phi$ existent et sont continues.
Démonstration: $ \bullet\ $On pose $ x_0(t,{\lambda})=x_0$ $ \bullet\ $On définit par récurrence $ x_{k+1}(t,{\lambda})=x_0+\int_{t_0}^t f(u,x_k(u,{\lambda}))du$ $ \bullet\ $Il est clair par récurrence que $ \vert x_k(t,{\lambda})-x_0\vert \leq b$ $ \bullet\ $$ x_k$ est $ C^0$ en $ t$ clairement $ \bullet\ $$ x_k$ est $ C^0$ en $ {\lambda}$ par continuité sous le signe intégral (théorème [*]) $ \bullet\ $On montre maintenant par récurrence que pour tout $ k$

$\displaystyle \vert x_{k+1}(t,{\lambda})-x_k(t,{\lambda})\vert \leq \frac{MC^k\vert t-t_0\vert^{k+1}}{(k+1)!}$

- Le cas $ k=0$ est immédiat - $ \vert(x_{k+1}-x_k)(t,{\lambda})\vert =\vert \int_{t_0}^t f(u,x_k(u,{\lambda}),...
...}\frac{\vert u-t_0\vert^k}{k!}du \leq \frac{MC^k\vert t-t_0\vert^{k+1}}{(k+1)!}$ - $ t-t_0$ étant borné sur l'ensemble qu'on s'est donné, la suite des $ x_k$ converge uniformément. Du coup la limite est continue par rapport à $ (t,d)$. Le fait que la limite vérifie l'équation est conséquence du passage à la limite.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Cauchy-Lipschitz] Si $ f$ est localement lipschitzienne en $ x$, étant donné $ (t_0,x_0)$, il existe une et une seule solution maximale (i.e. sur un intervalle maximal) de l'équation différentielle. En outre, cette fonction maximale n'admet pas de limite au bord de l'intervalle où elle est définie, si ce bord est fini et n'est pas le bord de l'intervalle de définition de $ f$.

Démonstration: L'existence et l'unicité découlent des lemmes ci-dessus. Lorsque la solution ne tend pas vers l'infini au bord du domaine ( $ \neq \infty$ et $ \neq$ du bord de l'intervalle de définition de $ f$), on peut prolonger par le lemme d'existence.$ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème [Existence de solutions globales] On suppose désormais $ U$ de la forme $ I \times E$, avec $ I$ intervalle ouvert de $ \mathbb{R}$. On suppose en outre qu'il existe une fonction $ k$ continue de $ I$ dans $ \mathbb{R}^+$ telle que $ f(t,.)$ est $ k$-lipschitzienne de rapport de Lipschitz $ <\ k(t)$ sur $ E$. Alors, toute solution maximale est une solution globale (sur $ I$).
Démonstration: Donnons-nous un intervalle compact $ K$ inclus dans $ J$. Il est suffisant de montrer qu'il existe une solution définie sur $ K$. Il suffit donc d'appliquer le lemme [*], $ k$ étant majorée sur $ K$ par une certaine constante $ C$.$ \sqcap$$ \sqcup$ Théorème [Equadif dépendante d'un paramètre] On remplace $ f(t,x)$ par $ f(t,x,{\lambda})$; on suppose que $ f$ est continue lipschitzienne en $ x$, de constante de Lipschitz indépendante de $ t$ et $ {\lambda}$, avec $ {\lambda}$ appartenant à un espace topologique $ L$, $ t$ dans un intervalle compact de $ \mathbb{R}$ et $ x\in B(x_0,r)\subset E$ avec $ E$ un Banach. En outre, $ f$ est bornée par $ M$. Alors étant donné $ t_0 \in \mathbb{R}$ on peut à $ {\lambda}$ associer une solution $ \phi_{\lambda}$ sur $ J=I\cap [t_0-r/M,t_0+r/M]$, et $ (t,{\lambda}) \mapsto \phi_{\lambda}(t)$ est continue.
Démonstration: La démonstration utilise le théorème du point fixe de Banach; pour plus de précisions, on consultera [9].$ \sqcap$$ \sqcup$
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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