Définition
Une fonction de deux variables
est dite localement lipschitzienne en si pour tout il existe un scalaire et un voisinage de dans
tel que pour tous
tel que
et
on ait
Lemme [Unicité]
Si est localement lipschitzienne en , alors si et sont deux solutions
sur un même intervalle ayant même valeur en un certain , alors
.
Démonstration:
Donnons nous et deux solutions, égales en .
Pour simplifier le raisonnement on va supposer qu'il existe
tel que
.
En cas contraire, on raisonnerait de même en considérant vérifiant
cette propriété.
Soit l'inf de ces . Par continuité,
.
Soit l'intersection de
et d'un voisinage de tel que
et
restent dans un voisinage de
sur lequel est -lipschitzienne en .
Pour dans , on a
, et donc
Donc par le lemme de Gronwall on conclut que et sont égales sur , ce qui est contradictoire avec la définition de . Lemme [Existence]
On se donne une fonction de
dans
, la boule
étant une boule de
, et la boule
étant une boule compacte ou un seul point d'un espace métrique.
On suppose qu'il existe tel que
, et on se donne tel que est borné par sur
(un tel existe nécessairement par continuité de sur
qui est
compact).
Alors il existe une fonction
telle que
, définie sur
, avec le min de et , et telle que pour tout ; en outre cette fonction est continue par rappport à et .
Le paramètre de la fonction
peut être vu comme le paramètre temporel; c'est une fonction de que l'on cherche comme solution. est la fonction solution, dépendant de . Quant à , c'est un paramètre désignant les conditions initiales. Le lemme est directement donné sous-une forme très générale; mais le cas d'une boule
compacte réduite à un point n'est pas à négliger; il s'agit en fait du cas le plus courant, l'intérêt d'introduire une boule étant simplement de montrer la continuité par rapport aux conditions initiales.
L'hypothèse de l'existence de sera notamment vérifiée si les dérivées partielles de par rapport aux composantes de existent et sont continues.
Démonstration:On pose
On définit par récurrence
Il est clair par récurrence que
est en clairement
est en par continuité sous le signe intégral (théorème )
On montre maintenant par récurrence que pour tout
- Le cas est immédiat
-
- étant borné sur l'ensemble qu'on s'est donné, la suite des converge uniformément. Du coup la limite est continue par rapport à . Le fait que la limite vérifie l'équation est conséquence du passage à la limite. Théorème [Cauchy-Lipschitz]
Si est localement lipschitzienne en , étant donné , il existe une et une seule solution maximale (i.e. sur un intervalle maximal) de l'équation différentielle.
En outre, cette fonction maximale n'admet pas de limite au bord de l'intervalle où elle est définie, si ce bord est fini et n'est pas le bord de l'intervalle de définition de .
Démonstration:
L'existence et l'unicité découlent des lemmes ci-dessus. Lorsque la solution ne tend pas vers l'infini au bord du domaine (
et du bord de l'intervalle de définition de ), on peut prolonger par le lemme d'existence. Théorème [Existence de solutions globales]
On suppose désormais de la forme
, avec intervalle ouvert de
.
On suppose en outre qu'il existe une fonction continue de dans
telle que
est -lipschitzienne de rapport de Lipschitz sur . Alors, toute solution maximale
est une solution globale (sur ).
Démonstration:Donnons-nous un intervalle compact inclus dans . Il est suffisant de montrer qu'il existe
une solution définie sur .
Il suffit donc d'appliquer le lemme , étant majorée sur par une
certaine constante .Théorème [Equadif dépendante d'un paramètre]
On remplace par
; on suppose que est continue lipschitzienne en , de constante de Lipschitz indépendante de et , avec appartenant à un espace topologique, dans un intervalle compact de
et
avec un Banach. En outre, est bornée par .
Alors étant donné
on peut à associer une solution sur
, et
est continue.
Démonstration:La démonstration utilise le théorème du point fixe de Banach; pour plus de précisions, on consultera [9]. suivant:Sans hypothèse sympathique sur monter:Equations différentielles d'ordre précédent:Equations différentielles d'ordre
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