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E. Cartan

Les maths pour l'agreg

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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Avec des hypothèses sympathiques sur

suivant: Sans hypothèse sympathique sur monter: Equations différentielles d'ordre précédent: Equations différentielles d'ordre Index

Avec des hypothèses sympathiques sur

Définition Une fonction de deux variables $(x,y)\in X\times Y \mapsto f(x,y)$ est dite localement lipschitzienne en si pour tout

il existe un scalaire

un voisinage

dans $X \times Y$ tel que pour tous

tel que $(x',y_1) \in V$ et $(x',y_2) \in V$ on ait

$\displaystyle {\parallel}f(x',y_1) - f(x',y_2) {\parallel}\leq k.{\parallel}y_1 - y_2 {\parallel}$

Lemme [Unicité] Si

est localement lipschitzienne

, alors si $\phi_1$ et $\phi_2$ sont deux solutions sur un même intervalle

ayant même valeur en un certain

, alors $\phi_1=\phi_2$ .
Démonstration: Donnons nous $\phi_1$ et $\phi_2$ deux solutions, égales en

. Pour simplifier le raisonnement on va supposer qu'il existe

tel que $\phi_1(t'')\neq \phi_2(t'')$ . En cas contraire, on raisonnerait de même en considérant

vérifiant cette propriété. Soit

l'inf de ces

. Par continuité, $\phi_2(t')=\phi_1(t')$ . Soit

l'intersection de $[t',\infty[$ et d'un voisinage de

tel que $\{ (t,\phi_1(t)) /t\in V \}$ et $\{ (t,\phi_2(t)) /t \in V$ restent dans un voisinage de $(t',\phi'(t'))$ sur lequel

est

-lipschitzienne en

. Pour

dans

, on a $\phi_i'(v)=f(v,\phi_i(v))$ , et donc

$\displaystyle \phi_1(v)-\phi_2(v) = \int_0^t f(u,\phi_1(u))-f(u,\phi_2(u))du$

$\displaystyle \vert\phi_1(v)-\phi_2(v)\vert \leq C \int_0^v \vert\phi_1(u)-\phi_2(u)\vert du$

Donc par le lemme de Gronwall

on conclut que $\phi_1$ et $\phi_2$ sont égales sur

, ce qui est contradictoire avec la définition de

. $\sqcap$ $\sqcup$
$\,$
Lemme [Existence] On se donne une fonction

de $[t_0-a,t_0+a] \times \overline B(x_0,b) \times \overline B({\lambda}_0,c)$ dans $\mathbb{R}^n$ , la boule $\overline B(x_0,b)$ étant une boule de $\mathbb{R}^n$ , et la boule $\overline B({\lambda}_0,c)$ étant une boule compacte ou un seul point d'un espace métrique. On suppose qu'il existe

tel que ${\parallel}f(t,x_1,{\lambda}) - f(t,x_2,{\lambda}) {\parallel}\leq C {\parallel}x_1 - x_2 {\parallel}$ , et on se donne

tel que $\vert f(t,x)\vert$ est borné par

sur $[t_0-a,t_0+a] \times \overline B(x_0,b) \times \overline B({\lambda}_0,c)$ (un tel

existe nécessairement par continuité de

sur $[t_0-a,t_0+a] \times \overline B(x_0,b) \times \overline B({\lambda}_0,c)$ qui est compact). Alors il existe une fonction $\phi(.,\lambda)$ telle que $\frac{\partial \phi(t,\lambda)}{\partial t}=f(t,\phi(t,\lambda),\lambda)$ , définie sur $[t_0-T,t_0+T]\times \overline B({\lambda}_0,c)$ , avec

le min de

, et telle que pour tout ${\lambda}$ $\phi(t_0,{\lambda})=x_0$ ; en outre cette fonction est continue par rappport à

et $\lambda$ .

Le paramètre

de la fonction $f(t,x,{\lambda})$ peut être vu comme le paramètre temporel; c'est une fonction de

que l'on cherche comme solution. $\phi$ est la fonction solution, dépendant de

. Quant à ${\lambda}$ , c'est un paramètre désignant les conditions initiales. Le lemme est directement donné sous-une forme très générale; mais le cas d'une boule $\overline B({\lambda}_0,c)$ compacte réduite à un point n'est pas à négliger; il s'agit en fait du cas le plus courant, l'intérêt d'introduire une boule étant simplement de montrer la continuité par rapport aux conditions initiales.

L'hypothèse de l'existence de

sera notamment vérifiée si les dérivées partielles

par rapport aux

composantes de $\phi$ existent et sont continues.
Démonstration: $\bullet\$ On pose $x_0(t,{\lambda})=x_0$ $\bullet\$ On définit par récurrence $x_{k+1}(t,{\lambda})=x_0+\int_{t_0}^t f(u,x_k(u,{\lambda}))du$ $\bullet\$ Il est clair par récurrence que $\vert x_k(t,{\lambda})-x_0\vert \leq b$ $\bullet\$

est

clairement $\bullet\$

est

en ${\lambda}$ par continuité sous le signe intégral (théorème

) $\bullet\$ On montre maintenant par récurrence que pour tout

$\displaystyle \vert x_{k+1}(t,{\lambda})-x_k(t,{\lambda})\vert \leq \frac{MC^k\vert t-t_0\vert^{k+1}}{(k+1)!}$

- Le cas

est immédiat - $\vert(x_{k+1}-x_k)(t,{\lambda})\vert =\vert \int_{t_0}^t f(u,x_k(u,{\lambda}),... ...}\frac{\vert u-t_0\vert^k}{k!}du \leq \frac{MC^k\vert t-t_0\vert^{k+1}}{(k+1)!}$ -

étant borné sur l'ensemble qu'on s'est donné, la suite des

converge uniformément. Du coup la limite est continue par rapport à

. Le fait que la limite vérifie l'équation est conséquence du passage à la limite. $\sqcap$ $\sqcup$
Théorème [Cauchy-Lipschitz] Si

est localement lipschitzienne

, étant donné

, il existe une et une seule solution maximale (i.e. sur un intervalle maximal) de l'équation différentielle

. En outre, cette fonction maximale n'admet pas de limite au bord de l'intervalle où elle est définie, si ce bord est fini et n'est pas le bord de l'intervalle de définition de

.

Démonstration: L'existence et l'unicité découlent des lemmes ci-dessus. Lorsque la solution ne tend pas vers l'infini au bord du domaine ( $\neq \infty$ et $\neq$ du bord de l'intervalle de définition de

), on peut prolonger par le lemme d'existence. $\sqcap$ $\sqcup$
Théorème [Existence de solutions globales] On suppose désormais

de la forme $I \times E$ , avec

intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ . On suppose en outre qu'il existe une fonction

continue de

dans $\mathbb{R}^+$ telle que

est

-lipschitzienne de rapport de Lipschitz

$<\ k(t)$ sur

. Alors, toute solution maximale est une solution globale (sur

).
Démonstration: Donnons-nous un intervalle compact

inclus dans

. Il est suffisant de montrer qu'il existe une solution définie sur

. Il suffit donc d'appliquer le lemme

étant majorée sur

par une certaine constante

. $\sqcap$ $\sqcup$ Théorème [Equadif dépendante d'un paramètre] On remplace

par $f(t,x,{\lambda})$ ; on suppose que

est continue lipschitzienne

, de constante de Lipschitz indépendante de

et ${\lambda}$ , avec ${\lambda}$ appartenant à un espace topologique

dans un intervalle compact de $\mathbb{R}$ et $x\in B(x_0,r)\subset E$ avec

un Banach

. En outre,

est bornée par

. Alors étant donné $t_0 \in \mathbb{R}$ on peut à ${\lambda}$ associer une solution

$\phi_{\lambda}$ sur $J=I\cap [t_0-r/M,t_0+r/M]$ , et $(t,{\lambda}) \mapsto \phi_{\lambda}(t)$ est continue.
Démonstration: La démonstration utilise le théorème du point fixe de Banach

; pour plus de précisions, on consultera [9]. $\sqcap$ $\sqcup$