sera ici simplement supposée .
Définition
On dira que est une solution -approchée de l'équation différentielle
si est définie continue par morceaux sur un intervalle , si
et si pour tout dans est bien dans , avec
, à part aux points de discontinuité, auxquels on doit avoir
et
tous deux
, avec et les dérivées à droites et à gauche.
Théorème
Supposons , définie sur
, avec intervalle de
, à valeurs dans . Supposons . Alors avec
,
, l'équation a une solution -approchée affine par morceaux telle que
.
Démonstration:On montre qu'on peut construire une telle solution sur
, le résultat s'obtenant de même sur
.
Définissons tout d'abord affine, définie par
,
et
.
On note que est bien telle que
soit dans le domaine de définition de pour dans .
Par continuité de , est une solution -approchée sur , pour suffisamment petit. En considérant le de ces , on obtient 1.1, et par continuité est une solution -approchée sur .
Si est différent de , alors on recommence le même processus, en remplaçant par
, et par , et par
( par définition de ); on nomme la nouvelle application obtenue. Puis , puis , et ainsi de suite, jusqu'à ce que soit le de , auquel cas la preuve est terminée.
Supposons maintenant que la suite des croît sans jamais atteindre la borne de ; notons le des .
Remarquons que
et que donc
; donc par le critère de Cauchy (rappelons que est un Banach), la suite tend vers une certaine limite .
Considérons maintenant
pour
, et examinons ce qu'il se passe pour
.
Cette quantité est inférieure ou égale à
et donc tend vers 0 en l'infini, et donc finit par être inférieure à à un certain rang ; donc
, d'où la contradiction. Corollaire
Supposons de dimension finie.
étant toujours bornée dans un voisinage de , on peut toujours trouver un voisinage de sur lequel l'équation admet des solutions -approchées pour tout .
On utilise le fait que dans le théorème précédent, le voisinage obtenu est indépendant de .
est une solution 
-approchée
si 
, si
et si pour tout 
dans 
est bien dans 
, avec
, à part aux points de discontinuité, auxquels on doit avoir
et
tous deux
, avec 
et 
les dérivées à droites et à gauche.
, avec 
intervalle de
, à valeurs dans 
. Supposons 
. Alors avec
![$ J=I\cap [t_0-r/M,t_0+r/M]$](/a/a/k/img115.png){kind=small}
,
, l'équation
a une solution 
On montre qu'on peut construire une telle solution sur
, le résultat s'obtenant de même sur
![$ J^-=J\cap ]-\infty,t_0]$](/a/a/k/img131.png){kind=small}
.
affine, définie par
,
et
.
.
![$ [t_0,t]$](/a/a/k/img136.png){kind=small}
, pour 
le 
de ces ![$ [t_0,t_1]$](/a/a/k/img140.png){kind=small}
.
, alors on recommence le même processus, en remplaçant 
par
, et 
par 
par
(
par définition de 
la nouvelle application obtenue. Puis 
, puis 
, et ainsi de suite, jusqu'à ce que 
soit le 
le 
et que donc
; donc par le critère de Cauchy
tend vers une certaine limite 
.
, et examinons ce qu'il se passe pour
.
Cette quantité est inférieure ou égale à
; donc
, d'où la contradiction.
, on peut toujours trouver un voisinage de 
On utilise le fait que dans le théorème précédent, le voisinage obtenu est indépendant de 
, qui termine la preuve immédiatement.
