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Sans hypothèse sympathique sur $ f$

$ f$ sera ici simplement supposée $ C^0$.
Définition On dira que $ \phi$ est une solution $ \epsilon $-approchée de l'équation différentielle $ \frac{\partial x}{\partial t}=f(t,x)$ si $ \phi$ est définie continue $ C^1$ par morceaux sur un intervalle $ J$, si $ \phi(t_0)=x_0$ et si pour tout $ t$ dans $ J$ $ (t,\phi(t))$ est bien dans $ U$, avec $ {\parallel}\phi'(t)-f(t,\phi(t)) {\parallel}\leq \epsilon $, à part aux points de discontinuité, auxquels on doit avoir $ {\parallel}\phi_d'(t)-f(t,\phi(t)) {\parallel}$ et $ {\parallel}\phi_g'(t)-f(t,\phi(t)) {\parallel}$ tous deux $ \leq \epsilon $, avec $ \phi_d'$ et $ \phi_g'$ les dérivées à droites et à gauche.
Théorème Supposons $ f$ $ C^0$, définie sur $ I\times B(x_0,r)$, avec $ I$ intervalle de $ \mathbb{R}$, à valeurs dans $ E$. Supposons $ \vert f\vert\leq M$. Alors avec $ J=I\cap [t_0-r/M,t_0+r/M]$, $ \forall \epsilon >0$, l'équation $ \frac{\partial x}{\partial t}=f(x,t)$ a une solution $ \epsilon $-approchée affine par morceaux telle que $ \phi(t_0)=x_0$.
Démonstration: $ \bullet\ $On montre qu'on peut construire une telle solution sur $ J^+=J \cap [t_0,\infty[$, le résultat s'obtenant de même sur $ J^-=J\cap ]-\infty,t_0]$. $ \bullet\ $Définissons tout d'abord $ \phi_0$ affine, définie par $ \phi_0(t_0)=x_0$, et $ \phi'_0(t_0)=f(t_0,x_0)$. $ \bullet\ $On note que $ \phi_0$ est bien telle que $ (t,\phi(t))$ soit dans le domaine de définition de $ f$ pour $ t$ dans $ J^+$. $ \bullet\ $Par continuité de $ f$, $ \phi_0$ est une solution $ \epsilon $-approchée sur $ [t_0,t]$, pour $ t$ suffisamment petit. En considérant $ t_1$ le $ sup$ de ces $ t$, on obtient $ t_1$ 1.1, et par continuité $ \phi_0$ est une solution $ \epsilon $-approchée sur $ [t_0,t_1]$. $ \bullet\ $Si $ t_1$ est différent de $ sup\ J$, alors on recommence le même processus, en remplaçant $ x_0$ par $ x_1=f(t_1)$, et $ t_0$ par $ t_1$, et $ r$ par $ r-{\parallel}x_1-x_0 {\parallel}$ ($ >0$ par définition de $ J$); on nomme $ \phi_1$ la nouvelle application obtenue. Puis $ t_2$, puis $ t_3$, et ainsi de suite, jusqu'à ce que $ t_i$ soit le $ sup$ de $ J$, auquel cas la preuve est terminée. $ \bullet\ $Supposons maintenant que la suite des $ t_i$ croît sans jamais atteindre la borne $ sup$ de $ J$; notons $ T$ le $ sup$ des $ t_i$. $ \bullet\ $Remarquons que $ {\parallel}x_{n+1}-x_n{\parallel}\leq M \vert t_{n+1}-t_n\vert$ et que donc $ {\parallel}\sum_{m=n}^{n+p} x_{n+1}-x_n {\parallel}\leq M (T-t_n)$; donc par le critère de Cauchy (rappelons que $ E$ est un Banach), la suite $ (x_n)$ tend vers une certaine limite $ x$. $ \bullet\ $Considérons maintenant

$\displaystyle {\parallel}f(t_n,x_n)-f(t,\phi_n(t)){\parallel}$

pour $ T \geq t\geq t_n$, et examinons ce qu'il se passe pour $ n\to \infty$. Cette quantité est inférieure ou égale à

$\displaystyle {\parallel}f(\underbrace{t_n}_{\to T},\underbrace{x_n}_{\to x})-f...
...x \mbox{ car ${\parallel}\phi_n(t)-x_n{\parallel}\leq (t-t_n)M $}}) {\parallel}$

et donc tend vers 0 en l'infini, et donc finit par être inférieure à $ \epsilon $ à un certain rang $ n$; donc $ t_{n+1}\geq T$, d'où la contradiction.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire Supposons $ E$ de dimension finie. $ f$ étant toujours bornée dans un voisinage de $ (t_0,x_0)$, on peut toujours trouver un voisinage de $ t_0$ sur lequel l'équation admet des solutions $ \epsilon $-approchées pour tout $ \epsilon $.
Attention! On utilise le fait que dans le théorème précédent, le voisinage obtenu est indépendant de $ \epsilon $.


Notes

...\space 1.1
Je passe sous silence le cas $ t_1=\infty$, qui termine la preuve immédiatement.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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