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Equation différentielle d'ordre $ n$

Etant donnée une équation de la forme

$\displaystyle \frac{d^nx}{dt}=f(t,x,\frac{dx}{dt},...,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}})$

où $ f$ est supposée localement lipschitzienne en $ x,\frac{dx}{dt},...,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}$, avec $ U \subset \mathbb{R}\times E^n$, $ f$ de $ U$ dans $ E$ continue à valeurs dans $ \mathbb{R}^m$, on se ramène à

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=x_1$

$\displaystyle \frac{dx_1}{dt}=x_2$

$\displaystyle \dots$

$\displaystyle \frac{dx_i}{dt}=x_{i+1}$

$\displaystyle \frac{dx_{n-1}}{dt}=f(t,x,x_1,...,x_{n-1})$

Ces équations différentielles correspondent donc à une équation d'ordre $ 1$ dans l'espace $ E^n$. Il reste à reformuler les différents résultats sur les équations différentielles d'ordre $ 1$ au cas de l'ordre $ n$: Etant donnés $ t_0$ et $ x_0$, $ x_1$, ... , $ x_{n-1}$, il existe (au moins) une solution maximale $ x$ définie sur un intervalle ouvert contenant $ t_0$ telle que $ x(t_0)=x_0$, $ x'(t_0)=x_1$, ... $ x^{(n-1)}(t_0)=x_{n-1}$ (rappelons que l'on a supposé $ f$ continue). $ f$ étant localement lipschitzienne en $ x,\frac{dx}{dt},...,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}$, alors il y a unicité. Pour l'existence sans l'unicité, le théorème de Cauchy-Péano permet de se passer du caractère localement lipschitzien. Si $ U$ est de la forme $ I \times E^n$, et s'il existe une fonction continue dépendant seulement de $ t$ majorant le coefficient de lipschitz, alors les solutions maximales sont définies sur $ I$ tout entier. Ces résultats découlent immédiatement des résultats à l'ordre $ 1$, grâce à la transformation décrite ci-dessus.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 
 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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