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Equation différentielle d'ordre

suivant: Zoologie des équations différentielles monter: Equations différentielles précédent: Sans hypothèse sympathique sur Index

Equation différentielle d'ordre

Etant donnée une équation de la forme

$\displaystyle \frac{d^nx}{dt}=f(t,x,\frac{dx}{dt},...,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}})$

où

est supposée localement lipschitzienne en $x,\frac{dx}{dt},...,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}$ , avec $U \subset \mathbb{R}\times E^n$ ,

de

dans

continue à valeurs dans $\mathbb{R}^m$ , on se ramène à

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=x_1$

$\displaystyle \frac{dx_1}{dt}=x_2$

$\displaystyle \dots$

$\displaystyle \frac{dx_i}{dt}=x_{i+1}$

$\displaystyle \frac{dx_{n-1}}{dt}=f(t,x,x_1,...,x_{n-1})$

Ces équations différentielles correspondent donc à une équation d'ordre

dans l'espace

. Il reste à reformuler les différents résultats sur les équations différentielles d'ordre

au cas de l'ordre

: Etant donnés

et

,

, ... , $x_{n-1}$ , il existe (au moins) une solution maximale

définie sur un intervalle ouvert contenant

telle que

,

, ... $x^{(n-1)}(t_0)=x_{n-1}$ (rappelons que l'on a supposé

continue).

étant localement lipschitzienne

en $x,\frac{dx}{dt},...,\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}$ , alors il y a unicité

. Pour l'existence sans l'unicité, le théorème de Cauchy-Péano permet de se passer du caractère localement lipschitzien. Si

est de la forme $I \times E^n$ , et s'il existe une fonction continue dépendant seulement de

majorant le coefficient de lipschitz, alors les solutions maximales sont définies sur

tout entier. Ces résultats découlent immédiatement des résultats à l'ordre

, grâce à la transformation décrite ci-dessus.

suivant: Zoologie des équations différentielles monter: Equations différentielles précédent: Sans hypothèse sympathique sur Index

C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

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