où est supposée localement lipschitzienne en
,
avec
,
de dans continue à valeurs dans
, on se ramène à
Ces équations différentielles correspondent donc à une équation d'ordre
dans l'espace .
Il reste à reformuler les différents résultats sur les équations différentielles
d'ordre au cas de l'ordre :
Etant donnés et , , ... , , il existe (au moins) une solution maximale définie sur un intervalle ouvert contenant
telle que
,
, ...
(rappelons que l'on a supposé
continue). étant localement lipschitzienne en
, alors il y a unicité. Pour l'existence sans l'unicité, le théorème de Cauchy-Péano permet de se passer du caractère localement lipschitzien.
Si est de la forme
, et s'il existe une fonction continue dépendant seulement de majorant le coefficient de lipschitz, alors les solutions maximales sont définies sur tout entier.
Ces résultats découlent immédiatement des résultats à l'ordre , grâce à la transformation décrite ci-dessus.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud