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Equation différentielle linéaire du premier ordre

Définition Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation différentielle du premier ordre avec

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=A(t).x+B(t)$

avec $ A(t)$ une application linéaire continue de $ E$ dans $ E$ et $ B(t) \in E$, pour tout $ t$ dans $ I$ intervalle de $ \mathbb{R}$. $ E$ est toujours un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel , $ A$ est continue, $ B$ est continue. L'équation différentielle homogène associée est

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=A(t).x$

Théorème [Théorème de Cauchy] Si $ A$ est continue de $ I$ dans $ {\cal L}(E)$1.2, alors l'équation différentielle linéaire du premier ordre admet une solution $ \phi$ telle que $ \phi(t_0)=x_0$ définie sur tout $ I$. Il existe une unique solution définie sur tout $ I$.
Démonstration: Il s'agit directement d'une application du théorème [*]. $ \sqcap$$ \sqcup$
Théorème En notant cette solution $ \phi_{x_0}$$ t_0$ fixé) la solution de l'équation linéaire homogène associée, l'application qui à $ x_0$ associe $ \phi_{x_0}$ est linéaire bijective de $ E$ dans l'ensemble des solutions de l'équation homogène.
Démonstration: $ \bullet\ $L'injectivité est claire, si deux fonctions sont différentes en $ t_0$ alors elles sont différentes tout court. $ \bullet\ $La surjectivité est non moins claire, par définition de $ \phi_{x_0}$. $ \bullet\ $La linéarité, enfin est immédiate; il suffit de voir que si $ x$ et $ y$ sont solutions, alors $ {\lambda}.x + \mu.y$ est aussi solution.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire [Cas de la dimension finie] On en déduit au passage que la dimension de l'espace des solutions d'une équation diférentielle est finie et égale à la dimension de $ E$, lorsque la dimension de $ E$ est finie.

$ \boxcircle$ Cas général, dimension non nécessairement finie

Dans cette partie, et seulement celle-ci, on traitera un cadre plus général. L'intérêt est seulement de donner un exemple d'utilisation en dimension non finie. On admettra le fait que le théorème de Cauchy-Lipschitz est aussi valable dans le cas d'un espace de Banach, même s'il n'est pas de dimension finie (la démonstration est d'ailleurs la même).

$ \diamond$ $ A$ non constant

$ \,$
Définition On appelle équation résolvante de l'équation différentielle linéaire de la définition [*] l'équation à paramètre dans l'ensemble des applications $ C^1$ de $ I$ dans $ {\cal L}(E)$:

$\displaystyle U'(t)=A(t) \circ U(t)$

Afin de pouvoir travailler sur cette équation, nous aurons besoin du théorème de Cauchy; aussi devons nous bien voir: - que $ {\cal L}(E)$ est un Banach (de manière générale l'ensemble des applications linéaires continues d'un espace vectoriel normé dans un Banach est un Banach) - que l'application $ t \mapsto (\phi \mapsto A(t)\circ \phi)$ est continue de $ I$ (pour la topologie usuelle) dans $ {\cal L}(E)^{{\cal L}(E)}$ (pour la topologie produit) Le deuxième point découle facilement de la continuité de $ A$. On peut donc appliquer le théorème de Cauchy, et exhiber pour tout $ t_0$ dans $ I$ une solution unique $ Resolvant_{t_0}$ sur tout $ I$ de l'équation résolvante vérifiant

$\displaystyle Resolvant_{t_0}(t_0)=Id_E.$

Définition La solution $ Resolvant_{t_0}(t_0)$ est appelée résolvante d'origine $ t_0$.
Voyons maintenant les propriétés sympathiques de la résolvante, qui découlent des résultats ci-dessus.
Proposition $ \bullet\ $Pour tous $ a$, $ b$ et $ c$ dans $ I$, $ Resolvant_a(b).Resolvant_b(c)=Resolvant_a(c)$. $ \bullet\ $Pour tout $ a$ et tout $ b$ $ Resolvant_a(b)$ est dans $ GL(E)$.
Démonstration: $ \bullet\ $Il suffit de dériver tout ça, et d'utiliser l'unicité donnée par le théorème de Cauchy. $ \bullet\ $C'est une conséquence évidente du fait que $ Resolvant_a(b).Resolvant_b(a)=Resolvant_b(a).Resolvant_a(b)=Resolvant_a(a)=Resolvant_b(b)=Id_E$.$ \sqcap$$ \sqcup$ Théorème $ \bullet\ $La solution $ x$ de l'équation homogène associée vérifiant $ x(t_0)=x_0$ est l'application $ t \mapsto Resolvant_{t_0}(t).x_0$. $ \bullet\ $Une solution particulière $ x$ de l'équation générale de la définition [*] vérifiant $ x(t_0)=x_0$ est donnée par

$\displaystyle x(t)=Resolvant_{t_0}(x_0)+\int_{t_0}^t Resolvant_{u}(t) B(u)du$


Démonstration: $ \bullet\ $La résolvante est construite pour ça. Il suffit d'écrire la dérivée de

$\displaystyle t \mapsto Resolvant_{t_0}(t).y_0$

pour avoir la résultat souhaité. $ \bullet\ $Il suffit d'écrire que $ x$ peut s'exprimer sous la forme $ x(t)=Resolvant_{t_0}(t)(C(t))$; ensuite, par une méthode bien similaire à la méthode de variation des constantes, on écrit

$\displaystyle x'(t)=\frac{( \partial ((x,y)\mapsto Resolvant_{t_0}(x)(y))\circ (t\mapsto (t,C(t))) )}{\partial t}$

$\displaystyle =(\ ((\frac{\partial Resolvant_{t_0}(x)}{\partial x})(y)dx+(Resolvant_{t_0}(x)dy))\circ (t,C(t)) ).(1,C'(t))$

$\displaystyle =A(t)Resolvant_{t_0}(t)C(t)+Resolvant_{t_0}(t)C'(t)$

Donc $ x$ sera solution si $ B(t)=Resolvant_{t_0}(t)C'(t)$, c'est à dire si $ C(t)=Resolvant_{t_0,t}^{-1}(x_0)+\int_{t_0}^t Resolvant_{t_0}^{-1}(u)B(u)du$, donc si $ x(t)=Resolvant_{t_0}(x_0)+Resolvant_{t_0}(t).\int_{t_0}^t Resolvant_{u}(t_0)B(u)du$. Donc on a bien

$\displaystyle x(t)=Resolvant_{t_0}(t)x_0+\int_{t_0}^t Resolvant_{u}(t)B(u)du$

D'où le résultat. $ \sqcap$$ \sqcup$

$ \diamond$ $ A$ constant

Théorème Si $ A(t)=A$ est constant, alors l'équation différentielle linéaire définie en [*] admet pour unique solution $ x$ vérifiant $ x(t_0)=x_0$ l'application

$\displaystyle x : t \mapsto exp ((t-t_0)A)(x_0)$


Pour y voir plus clair Pour se rappeler de ce qu'est l'exponentielle d'un endormophisme continu d'un Banach on pourra consulter [*].
Démonstration: Le théorème de Cauchy nous donne l'unicité, et il est immédiat que cette fonction convient, par le théorème donnant la dérivée de l'application $ t\mapsto exp(t\ f)$ (voir partie [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$ On note que $ t \mapsto exp ((t-t_0)A)(x_0)$ est le résolvant de l'équation différentielle.
Théorème Une solution particulière $ x$ de l'équation différentielle générale définie en [*] dans le cas où $ A(t)=A$ est constant et vérifiant $ x(t_0)=x_0$ est donnée par

$\displaystyle x(t)=exp((t-t_0)A).x_0 + \int_{t_0}^t exp((t-u)A)B(u)du$


Démonstration: On peut simplement argumenter en utilisant le fait signalé ci-dessus, ie que $ t \mapsto exp ((t-t_0)A)$ est le résolvant (d'origine $ t_0$) de l'équation différentielle, mais on peut aussi faire le calcul directement en cherchant des solutions de la forme $ t\mapsto exp(tA)C(t)$.$ \sqcap$$ \sqcup$ Remarque: tout comme lorsque $ A$ est constant on a $ Resolvant_{t_0}(t)=exp( (t-t_0)A)$, on a $ Resolvant_{t_0}(t)=exp(\int_{t_0}^t\ A(u)du$ LORSQUE pour tous $ t$ et $ s$ dans $ I$ $ A(t)$ et $ A(s)$ commutent ( $ A(t)A(s)=A(s)A(t)$).

$ \boxcircle$ Cas de la dimension finie

$ \diamond$ $ A(t)$ non constant

Si $ E$ est de dimension finie $ n$, alors l'espace des solutions de l'équation homogène associée est de dimension finie $ n$, comme on le souligne dans le corollaire [*]. Pour simplifier les notations, on identifie $ E$ et $ \mathbb{R}^n$, sans perte de généralité.
Proposition On se donne une famille $ x_1,...,x_m$ de solutions de l'équation différentielle homogène. Alors ces solutions sont libres si et seulement si l'ensemble des $ x_i(t)$ est libre pour un certain $ t$, si et seulement si l'ensemble des $ x_i(t)$ est libre pour tout $ t$.
Démonstration: Il est clair que si les $ x_i(t)$ forment une famille libre pour un certain $ t$, alors les $ x_i$ forment une famille libre. Il est clair que si pour tout $ t$, les $ x_i(t)$ forment une famille libre, il en est de même. Il reste donc juste à voir que si les $ x_i$ forment une famille libre, alors les $ x_i(t)$ forment une famille libre, quel que soit $ t$. Cela découle simplement du théorème [*].$ \sqcap$$ \sqcup$ Attention! Il n'est par contre pas vrai que dans le cas général, $ (x_i)$ famille libre $ \to$ $ (x_i(t))$ famille libre (par exemple n'importe quelle famille libre de fonctions de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$). Ainsi lorsque l'on aura obtenu une famille libre de $ n$ solutions de l'équation différentielle homogène et une solution de l'équation générale, alors on pourra en déduire toutes les solutions de l'équation différentielle, en considérant la somme de la solution de l'équation générale plus une combinaison linéaire quelconque des $ n$ solutions libres de l'équation homogène associée. Généralement, le problème ne sera pas d'obtenir les solutions de l'équation homogène, mais plutôt d'obtenir les solutions de l'équation générale. Pour cela on utilisera notamment la méthode de la variation des constantes. On suppose que $ x_1,...,x_{n}$ sont des solutions libres de l'équation homogène associée. On cherche alors $ x$ solution particulière de l'équation générale, avec $ x$ de la forme

$\displaystyle x(t)={\lambda}_1(t)x_1(t)+{\lambda}_2(t)x_2(t)+\dots+{\lambda}_n(t)x_n(t)$

On note bien que toute fonction peut s'exprimer de la sorte, puisque pour tout $ t$ la famille des $ x_i(t)$ est libre. Faisons maintenant « varier les constantes » :

$\displaystyle \frac{dx}{dt}(t)=\underbrace{{\lambda}_1\frac{d x_1}{d t}+\dots +...
...mbda}_1 Ax_1+{\lambda}_2 Ax_2+...+{\lambda}_n Ax_n$ par définition des $x_i$.}}$

$\displaystyle + \frac{\partial {\lambda}_1}{\partial t}(t)x_1(t)+ \dots \frac{\partial {\lambda}_n}{\partial t}(t)x_n(t)$

Donc $ x$ vérifie l'équation générale si et seulement si

$\displaystyle \sum_i {\lambda}_i'(t)x_i(t)=B(t)$

En écrivant $ {\Lambda}=({\lambda}_1,...,{\lambda}_n)$ et \begin{displaymath}M(t)=\left(
\begin{array}{cccc}
(x_1)_1 & (x_1)_2 & \dots...
...
(x_n)_1 & (x_n)_2 & \dots & (x_n)_n \\
\end{array}\right)\end{displaymath}1.3 On obtient l'équation $ {\Lambda}'=M(t)^{-1} B(t)$ (notez que $ M(t)$ est inversible, de par la proposition [*]). On peut donc en déduire les $ {\Lambda}$, à une constante près. Les constantes en question ne changent de toute façon rien, puisque cela revient à ajouter une combinaison linéaire des solutions de l'équation homogène.

$ \diamond$ Cas $ A(t)=A$ constant

Tout d'abord on peut donner la forme générale des solutions, de manière simple lorsque l'endomorphisme est diagonalisable en dimension finie.
Théorème On va supposer ici que $ A(t)=A$ est constant, et qu'il s'agit d'un endomorphisme diagonalisable, en dimension finie $ n$. Alors avec $ (e_i)$ une base de $ E$ dans laquelle $ A$ s'identifie à une matrice diagonale, avec $ A(e_i)={\lambda}_i.e_i$, les solutions de l'équation homogène associée à l'équation différentielle linéaire définie en [*] sont les combinaisons linéaires de fonctions de la forme

$\displaystyle f_i:t \mapsto exp({\lambda}_i.t)e_i$

pour $ i\in [1,n]$
Démonstration: Il est facile de voir que ces fonctions sont bien dans l'ensemble des solutions de l'équation différentielle homogène associée. En vertu du corollaire diffé[*] il suffit donc de vérifier que les solutions en question forment bien une famille libre; ce fait se déduit immédiatement du fait que la famille des $ f_i(0)$ est libre.

Notes

... $ {\cal L}(E)$1.2
Ensemble des applications linéaires continues de $ E$ dans $ E$.
... \begin{displaymath}M(t)=\left(
\begin{array}{cccc}
(x_1)_1 & (x_1)_2 & \dots...
...
(x_n)_1 & (x_n)_2 & \dots & (x_n)_n \\
\end{array}\right)\end{displaymath}1.3
On vérifiera facilement qu'il s'agit du résolvant (voir partie [*]).

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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