Définition
Une équation différentielle est dite autonome si
ne dépend pas de .
On appelle point d'équilibre d'une équation
différentielle autonome un point tel que .
On appelle point stable d'une équation différentielle
autonome un point d'équilibre tel que
tel que
pour tout solution de l'équation différentielle
et tout
tel que
est définie sur
pour tout
On appelle point asymptotiquement stable d'une
équation différentielle autonome un point d'équilibre
tel que pour un certain ,
pour tout solution de l'équation différentielle
et tout
tel que
,
est définie sur
C'est à dire qu'une équation différentielle autonome est de la forme
.
Les résultats d'unicité permettent de dire que si
et
et
et
avec intervalle maximal de définition de et intervalle maximal de définition
de ,
alors
et
pour tout tel que .
Quelques exemples:
Equation : 0 est l'unique point d'équilibre; il n'est ni stable ni asymptotiquement
stable.
Equation : 0 est l'unique point d'équilibre; il est stable et asymptotiquement
stable.
Equation avec antisymétrique : 0 est point d'équilibre; il est stable, mais
pas asymptotiquement stable.
Equation , avec vecteur non nul : pas de point d'équilibre.
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