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Equations différentielles autonomes

Définition Une équation différentielle est dite autonome si $ f$ ne dépend pas de $ t$. On appelle point d'équilibre d'une équation différentielle autonome un point $ x_0$ tel que $ f(x_0)=0$. On appelle point stable d'une équation différentielle autonome un point d'équilibre $ x_0$ tel que $ \forall \epsilon >0 \exists \eta $ tel que pour tout $ x$ solution de l'équation différentielle et tout $ t_0$ tel que $ {\parallel}x(t_0)-x_0 {\parallel}\leq \eta$ $ \bullet\ $$ x$ est définie sur $ [t_0,\infty[$ $ \bullet\ $ $ {\parallel}x(t)-x_0 {\parallel}\leq \epsilon $ pour tout $ t \geq t_0$ On appelle point asymptotiquement stable d'une équation différentielle autonome un point d'équilibre $ x_0$ tel que pour un certain $ \eta$, pour tout $ x$ solution de l'équation différentielle et tout $ t_0$ tel que $ {\parallel}x(t_0)-x_0 {\parallel}\leq \eta$, $ \bullet\ $$ x$ est définie sur $ [t_0,\infty[$ $ \bullet\ $ $ lim_{t\to\infty} x(t)=x_0$ C'est à dire qu'une équation différentielle autonome est de la forme $ \frac{\partial x}{\partial t}=f(x)$. Les résultats d'unicité permettent de dire que si

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$    et $\displaystyle x(u)=x_0$

et

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=f(y)$    et $\displaystyle y(v)=x_0$

avec $ I$ intervalle maximal de définition de $ x$ et $ J$ intervalle maximal de définition de $ y$, alors $ J+u=I+v$ et $ y(t+v)=x(t+u)$ pour tout $ t$ tel que $ t+v \in J$. Quelques exemples: $ \bullet\ $Equation $ x'=x$ : 0 est l'unique point d'équilibre; il n'est ni stable ni asymptotiquement stable. $ \bullet\ $Equation $ x'=-x$ : 0 est l'unique point d'équilibre; il est stable et asymptotiquement stable. $ \bullet\ $Equation $ x'=M.x$ avec $ M$ antisymétrique : 0 est point d'équilibre; il est stable, mais pas asymptotiquement stable. $ \bullet\ $Equation $ x'=u$, avec $ u$ vecteur non nul : pas de point d'équilibre.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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