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Du théorème de Rolle aux formules de Taylor

Théorème [Théorème de Rolle] Soit $ f$ une fonction continue définie sur le segment $ [a,b]$, dérivable sur $ ]a,b[$, avec $ f(a)=f(b)$. Alors il existe $ c\in]a,b[$ tel que $ f'(c)=0$.
Démonstration: $ \bullet $Si $ f$ est constante sur $ [a,b]$, le résultat est clair.
$ \bullet $Si $ f$ n'est pas constante, alors $ f$ atteint soit son maximum soit son minimum dans $ ]a,b[$ (il y a là une application de la compacité; l'image d'un compact par une application continue est un compact, théorème [*]); la dérivée de $ f$ en ce point (ou l'un de ces points) est nécessairement nulle.$ \sqcap$$ \sqcup$
NB: comme le signale judicieusement le livre [15], on peut aussi avoir le même théorème sur $ [a,+\infty[$, avec $ f(a)=lim_{x\to +\infty} f(x)$.
Application(s)... du théorème de Rolle:
$ \bullet $le polynôme dérivé d'un polynôme scindé de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ est scindé.
$ \bullet $le théorème [*].
$ \bullet $les résultats [*] et [*].
$ \bullet $le théorème qui suit:
Théorème [Théorème des accroissements finis pour une application de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$] On se donne $ f$ continue de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{R}$, dérivable sur $ ]a,b[$. Alors il existe $ c\in [a,b]$ tel que $ f(b)-f(a)=f'(c).(b-a)$.
Démonstration: Il suffit de soustraire $ x\mapsto f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.(x-a)$ à la fonction $ f$ pour se ramener au théorème de Rolle.$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! Ne pas confondre avec le théorème [*].
Application(s)... cela sert pour le théorème [*].
Théorème [Théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée] Ce théorème est aussi dit théorème de Darboux.
Soit $ f$ dérivable d'un intervalle $ I$ dans $ \mathbb{R}$; alors $ f'(I)$ est un intervalle.
Démonstration: $ \bullet $On suppose tout d'abord $ I$ ouvert; le cas général s'en déduit clairement.
$ \bullet $On se donne $ X$ et $ Y$ dans $ f'(I)$, puis $ Z$ compris entre $ X$ et $ Y$.
$ \bullet $On suppose $ f'(x)=X$ et $ f'(y)=Y$; on cherche $ z$ tel que $ f'(z)=Z$.
$ \bullet $On se donne $ h>0$ tel que $ \frac{f(x+h)-f(x)}{h} < Z < \frac{f(y+h)-f(y)}{h}$ (on se rend compte qu'un tel $ h$ existe en considérant les limites des membres de droite et de gauche pour $ h \to 0$)
$ \bullet $On définit $ g(u)=\frac{f(u+h)-f(u)}{h}$; c'est à dire que $ g(u)$ est la pente de $ f$ "en regardant sur une largeur $ h$" (voir figure [*]).
$ \bullet $On applique le théorème des valeurs intermédiaires, en tant que théorème appliqué à une fonction continue, à $ g$ (voir [*]). On en déduit qu'il existe un certain $ u$ tel que $ g(u)=Z$. On applique alors le théorème des accroissements finis [*], pour voir qu'il existe un certain $ z$ entre $ u$ et $ u+h$ tel que $ f'(z)=Z$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Théorème de Darboux: on considère les pentes "sur une largeur $ h$"...
\begin{figure}
\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{darboux.eps}
\end{displaymath}
\end{figure}

Définition [Polynôme de Taylor] Etant donnée une fonction $ f$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé au moins $ n$ fois dérivable en $ a$, on définit le développement de Taylor de $ f$ à l'ordre $ n$ en $ a$ qui est une fonction de $ \mathbb{R}$ dans notre espace vectoriel normé définie par $ P_{f,a,n}(x)=f(a)+\sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$.
Théorème [Formule de Taylor-Lagrange] Soit $ [a,b]$ un segment de $ \mathbb{R}$, avec $ a\neq b$, $ f$ de classe $ C^n$ de $ [a,b]$ dans $ \mathbb{R}$ $ n+1$ fois dérivable sur $ ]a,b[$; alors il existe $ c\in]a,b[$ tel que

$\displaystyle f(b)=P_{f,a,n}(b)+\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}$


Démonstration: $ \bullet $On définit

$\displaystyle g(x)=f(b)-P_{f,x,n}(b)-K.(\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!})$

avec $ K$ choisi de manière à avoir $ g(a)=0$ (toujours possible car $ b-a$ est non nul par hypothèse).
$ \bullet $On dérive $ g$, on a pile poil les bonnes hypothèses pour appliquer Rolle [*] à $ g$, on en déduit qu'il existe $ c$ tel que $ g'(c)=0$ (puisque $ g(b)=0=g(a)$). Or le calcul de $ g'$ permet alors d'écrire que $ g'(c)=0$ implique que $ f^{n+1}(c)=K$.
$ \bullet $Il ne reste plus qu'à écrire que $ g(a)=0$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire [Formule de Mac Laurin] Il s'agit simplement de la même formule, dans le cas $ a=0$ (l'usage veut que ce cas particulier soit nommé "formule de Mac Laurin").

$\displaystyle f(b)=P_{f,0,n}(b)+\frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(b)^{n+1}$


Démonstration: Conséquence immédiate du résultat précédent.$ \sqcap$$ \sqcup$
Quelques exemples d'applications, extraites de [15]:
$ \bullet $ $ x\mapsto \exp(x)$ est limite de la suite des $ P_{\exp,0,n}$
$ \bullet $au voisinage de $ +\infty$ et pour tout polynôme $ P$, $ P(x)=o(e^x)$.
$ \bullet $Si $ f$ est $ C^2$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, et avec $ M_i$ pour $ i\in\{0,1,2\}$ défini comme le sup de $ \vert f^{(i)}\vert$, on a $ M_1\leq 2\sqrt {M_0.M_2}$ (preuve en écrivant (par Taylor-Lagrange) que $ f(a+t)=f(a)+f'(a)t+\frac12 f''(c)t^2$ pour un certain $ c\in ]a,a+t[$, en divisant par $ t$ pour obtenir $ f'(a)=\frac{f(a+t)-f(a)}{t}-\frac12 f''(c)t^2$ et donc $ \vert f'(a)\vert\leq \frac{2M_0}t+\frac{M_2t}2$ minimal pour $ t=2\sqrt{M_0}{M_2}$).
$ \bullet $Si $ f$ est $ C^{n+1}$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$, et si $ f$ et $ f^{(n+1)}$ sont bornées, alors les $ f_i$ pour $ i \in \{1,2,...,n\}$ sont bornées (la preuve utilise le fait que l'ensemble des polynômes de degré $ \leq n$ est de dimension finie, bornée, et le fait que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie).
Théorème [Inégalité de Taylor-Lagrange] Soit $ [a,b]$ un segment de $ \mathbb{R}$, avec $ a\neq b$, $ f$ de classe $ C^n$ sur $ [a,b]$ et $ n+1$ fois dérivable sur $ ]a,b[$; on suppose en outre que $ f^{(n+1)}$ est bornée par $ M$ sur $ ]a,b[$. Alors $ {\parallel}f(b)-P_{f,a,n}(b) {\parallel}\leq M.\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}$.
Démonstration: $ \bullet $On définit

$\displaystyle g(x)=f(b)-P_{f,x,n}(b)$

$ \bullet $On considère l'application qui à $ x$ associe $ -M.\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}$.
Pour tout $ x$ dans $ [a,b]$ on a $ {\parallel}g'(x) {\parallel}\leq h'(x)$; le théorème des accroissements finis [*] permet alors d'écrire que $ {\parallel}g(b)-g(a){\parallel}\leq h(b)-h(a)$ - ce qui est précisément ce qu'on voulait prouver puisque $ g(b)=0$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! Il y a plus simple dans le cas de $ f$ application à image dans $ \mathbb{R}$: il s'agit alors d'une conséquence rapide de la formule de Taylor-Lagrange.
Théorème [Formule de Taylor avec reste intégral] Cette fois-ci $ f$ est supposée $ C^{n+1}$ sur $ [a,b]$. Alors:

$\displaystyle f(b)=f(a)+P_{f,a,n}(b)+\frac{1}{n!}\int_a^b (b-t)^n.f^{n+1}(t)dt$


Démonstration: $ \bullet $Comme d'habitude pour ce genre de formule, on définit $ g(x)=f(b)-P_{f,x,n}(b)$.
$ \bullet $$ g$ est $ C^1$; donc $ g(b)-g(a)$ est égale à l'intégrale de $ g'$ entre $ a$ et $ b$; il s'agit précisément de la formule de Taylor avec reste intégral...$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! La formule étant passablement infecte à apprendre (je trouve...) le plus simple est sans doute de faire le calcul soi-même, il n'est pas difficile, et peut être retrouvé très rapidement...
Application(s)... Le théorème de Bernstein, stipulant que toute fonction $ f$ $ C^\infty$ de $ [-a,a]$ dans $ \mathbb{R}$, avec $ a>0$, et dont toutes les dérivées d'ordre pair $ f^{(2n)}$ sont $ \geq 0$ sur $ [-a,a]$, est développable en série entière sur $ ]-a,a[$, est démontré dans [15] en application de la formule de Taylor avec reste intégral.
FLEMMARD applications en analyse numérique
Théorème [Formule de Taylor-Young] On se donne une fonction $ f$ de $ \mathbb{R}$ dans un espace vectoriel normé $ E$, $ n$ fois dérivable en $ a$. Alors

$\displaystyle f(x)-P_{f,a,n}(x)=o((x-a)^n)$


Démonstration: Par récurrence, avec le théorème des accroissements finis [*].$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... Ceci fournit bien évidemment une méthode de détermination de développements limités. Mais c'est aussi un outil pour calculer des dérivées de fonctions, comme on va le voir avec les corollaires ci-dessous, permettant de généraliser la formule bien connue $ f'(a)=lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}h$. Il faut noter que la formule se généralise à tout ordre, mais la formule est plus compliquée... Enfin on peut en déduire des résultats sur l'ensemble des zéros d'une fonction suffisamment dérivable, comme illustré par le corollaire [*] (les informations étant bien faibles par rapport aux informations fournies dans le cas complexe...).


Exemple Maple


$ > p:=array(1..5); for i from 2 by 2 to 10 do p[i/2]:=convert(series(sin(x),x,i),polynom) od;$

$\displaystyle p := \mathrm{array}(1 .. 5,  [])$

$\displaystyle {p_{1}} := x$

$\displaystyle {p_{2}} := x - {\frac {1}{6}}  x^{3}$

$\displaystyle {p_{3}} := x - {\frac {1}{6}}  x^{3}+{\frac {1}{120}}  x^{5}$

$\displaystyle {p_{4}} := x - {\frac {1}{6}}  x^{3} + {\frac {1}{120}}  x^{5} - {\frac {1 }{5040}}  x^{7})$

$\displaystyle {p_{5}} := x - {\frac {1}{6}}  x^{3} + {\frac {1}{120}}  x^{5} - {\frac {1 }{5040}}  x^{7} + {\frac {1}{362880}}  x^{9}$

$ > plot(p,x=-5..5);$ Le résultat est montré sur la figure [*].



Figure: Approximations successives de $ \sin(x)$ par la formule de Taylor-Young
\epsfig{file=taylor.eps,width=8cm}

Corollaire [Calcul de la dérivée seconde d'une fonction] Soit $ f$ une fonction $ 2$ fois dérivable en $ a$. Alors

$\displaystyle f''(a)=lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)+f(a-h)-2.f(a)}{h^2}$


Démonstration: Par la formule de Taylor-Young, on sait que

$\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a).h+\frac{f''(a)}{2}.h^2+o(h^2)$

et

$\displaystyle f(a-h)=f(a)-f'(a).h+\frac{f''(a)}{2}.h^2+o(h^2)$

On en déduit bien l'égalité annoncée...$ \sqcap$$ \sqcup$
Corollaire [Calcul de la dérivée $ n$-ième d'une fonction] Si $ f$ est $ n$ fois dérivable en 0, alors

$\displaystyle f^{(n)}(0)=lim_{h\to 0} \sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^{n-k}f(kh)$


Démonstration: Notons $ A(h)=\sum_{k=0}^n C_n^k(-1)^{n-k}f(kh)$, et utilisons la formule de Taylor-Young à l'ordre $ n$ pour chaque $ f(kh)$, on obtient

$\displaystyle A(h)=\sum_{(k,i)\in[0,n]^2} C_n^k (-1)^{n-k} \frac{f^{(i)}(0)}{i!} k^ih^i + o(k^nh^n)$

Le terme en $ h^p$ est alors $ \frac{f^{(p)}(0)}{p!}\sum_{k=0}^nC_n^k (-1)^{n-k} k^p$. Il ne reste plus qu'à voir que $ \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^{n-k} k^n=n!$ et $ \sum_{k=0}^n C_n^k (-1)^{n-k} k^p=0$ pour $ 0\leq p<n$; voir proposition [*]. $ \sqcap$$ \sqcup$
Définition On appelle ordre d'un zéro d'une fonction $ f$ $ C^\infty$ l'entier $ p$ minimal tel que $ f^{(p)}(a)\neq 0$. Si un tel entier n'existe pas, le zéro est dit d'ordre infini.
Corollaire Tout zéro d'ordre fini $ n$ d'une fonction dérivable au moins $ n$ fois est isolé.
Démonstration: Il suffit d'écrire Taylor-Young, et de se placer suffisamment près du zéro...$ \sqcap$$ \sqcup$
Application(s)... Une fonction $ C^\infty$ qui possède une infinité de zéros sur un compact donné en compte au moins un qui est d'ordre infini.
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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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