Théorème [Théorème de Rolle]
Soit une fonction continue définie sur le segment , dérivable sur , avec . Alors il existe tel que .
Démonstration:Si est constante sur , le résultat est clair.
Si n'est pas constante, alors atteint soit son
maximum soit son minimum dans (il y a là une application
de la compacité; l'image d'un compact par une application continue
est un compact, théorème ); la dérivée de
en ce point (ou l'un de ces points) est nécessairement nulle.
NB: comme le signale judicieusement le livre [15], on peut aussi
avoir le même théorème sur
, avec
.
du théorème de Rolle:
le polynôme dérivé d'un polynôme scindé de
dans
est scindé.
le théorème .
les résultats et .
le théorème qui suit:
Théorème [Théorème des accroissements finis pour une application de
dans
]
On se donne continue de dans
, dérivable sur .
Alors il existe tel que
.
Démonstration:Il suffit de soustraire
à la fonction pour se ramener au théorème de Rolle. Ne pas confondre avec le théorème .
cela sert pour le théorème .
Théorème [Théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée]
Ce théorème est aussi dit théorème de Darboux.
Soit dérivable d'un intervalle dans
; alors est un intervalle.
Démonstration:On suppose tout d'abord ouvert; le cas général s'en déduit clairement.
On se donne et dans , puis compris entre et .
On suppose et ; on cherche tel que .
On se donne tel que
(on se rend compte qu'un tel existe en considérant les limites des membres de droite et de gauche pour )
On définit
; c'est à dire que est la pente de "en regardant sur une largeur " (voir figure ).
On applique le théorème des valeurs intermédiaires, en tant que théorème
appliqué à une fonction continue, à (voir ). On en déduit qu'il existe un certain tel que . On applique alors le théorème des accroissements finis , pour voir qu'il existe un certain entre et tel que .
Figure:
Théorème de Darboux: on considère les pentes "sur une largeur "...
Définition [Polynôme de Taylor]
Etant donnée une fonction de
dans un espace vectoriel normé au moins fois dérivable en , on définit le développement de Taylor de à l'ordre en qui est une fonction de
dans notre espace vectoriel normé définie par
.
Théorème [Formule de Taylor-Lagrange]
Soit un segment de
, avec , de classe de dans
fois dérivable sur ; alors il existe
tel que
Démonstration:On définit
avec choisi de manière à avoir (toujours possible
car est non nul par hypothèse).
On dérive , on a pile poil les bonnes hypothèses pour
appliquer Rolle à , on en déduit qu'il existe tel
que (puisque
). Or le calcul
de permet alors d'écrire que implique
que
.
Il ne reste plus qu'à écrire que . Corollaire [Formule de Mac Laurin]
Il s'agit simplement de la même formule, dans le cas
(l'usage veut que ce cas particulier soit nommé
"formule de Mac Laurin").
Démonstration:Conséquence immédiate du résultat précédent.
Quelques exemples d'applications, extraites de [15]:
est limite de la suite des
au voisinage de et pour tout polynôme ,
.
Si est de
dans
, et avec pour
défini
comme le sup de , on a
(preuve en écrivant (par Taylor-Lagrange) que
pour un certain
, en divisant par pour obtenir
et donc
minimal pour
).
Si est de
dans
, et si et sont bornées, alors les pour
sont bornées (la preuve utilise le fait que l'ensemble des polynômes de degré est de dimension finie, bornée, et le fait que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie).
Théorème [Inégalité de Taylor-Lagrange]
Soit un segment de
, avec , de classe sur et fois dérivable sur ; on suppose en outre que est bornée par sur .
Alors
.
Démonstration:On définit
On considère l'application qui à associe
.
Pour tout dans on a
; le théorème des accroissements finis permet alors d'écrire que
- ce qui est précisément ce qu'on voulait prouver puisque . Il y a plus simple dans le cas de application à image dans
: il s'agit alors d'une conséquence rapide de la formule de Taylor-Lagrange.
Théorème [Formule de Taylor avec reste intégral]
Cette fois-ci est supposée sur .
Alors:
Démonstration:Comme d'habitude pour ce genre de formule, on définit
.
est ; donc est égale à l'intégrale de entre et ; il s'agit précisément de la formule de Taylor avec reste intégral... La formule étant passablement infecte à apprendre (je trouve...) le plus simple est sans doute de faire le calcul soi-même, il n'est pas difficile, et peut être retrouvé très rapidement...
Le théorème de Bernstein, stipulant que toute fonction de dans
, avec , et dont toutes les dérivées d'ordre pair sont sur , est développable en série entière sur , est démontré dans [15] en application de la formule de Taylor avec reste intégral.
FLEMMARD applications en analyse numérique
Théorème [Formule de Taylor-Young]
On se donne une fonction de
dans un espace vectoriel normé , fois dérivable en . Alors
Démonstration:Par récurrence, avec le théorème des accroissements finis . Ceci fournit bien évidemment une méthode de détermination de développements limités. Mais c'est aussi un outil pour calculer des dérivées de fonctions, comme on va le voir avec les corollaires ci-dessous, permettant de généraliser la formule bien connue
. Il faut noter que la formule se généralise à tout ordre, mais la formule est plus compliquée... Enfin on peut en déduire des résultats sur l'ensemble des zéros d'une fonction suffisamment dérivable, comme illustré par le corollaire (les informations étant bien faibles par rapport aux informations fournies dans le cas complexe...).
Exemple Maple
Le résultat est montré sur la figure .
Figure:
Approximations successives de par la formule de Taylor-Young
Corollaire [Calcul de la dérivée seconde d'une fonction]
Soit une fonction fois dérivable en . Alors
Démonstration:Par la formule de Taylor-Young, on sait que
et
On en déduit bien l'égalité annoncée... Corollaire [Calcul de la dérivée -ième d'une fonction]
Si est fois dérivable en 0, alors
Démonstration:Notons
,
et utilisons la formule de Taylor-Young à l'ordre pour
chaque , on obtient
Le terme en est alors
.
Il ne reste plus qu'à voir que
et
pour ; voir proposition .
Définition
On appelle ordre d'un zéro d'une fonction l'entier minimal tel que
. Si un tel entier n'existe pas, le zéro est dit d'ordre infini.
Corollaire
Tout zéro d'ordre fini d'une fonction dérivable au moins fois est isolé.
Démonstration:Il suffit d'écrire Taylor-Young, et de se placer suffisamment près du zéro... Une fonction qui possède une infinité de zéros sur un compact donné en compte au moins un qui est d'ordre infini.
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