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Primitives de $ P(cos(x),sin(x))$

$ P$ désigne un polynôme à deux indéterminées.
Cette situation se présente couramment dans la vie de tous les jours et il est indispensable d'être bien préparé pour y faire face.
Il est évidemment suffisant de savoir intégrer un monôme, c'est-à-dire un élément de la forme $ f_{n,m} = x\mapsto \cos(x)^n \sin(x)^m$
$ \bullet $Si $ n$ est impair, il suffit de remplacer $ \cos(x)^n$ par $ (1-\sin(x)^2)^{\frac{n-1}2}cos(x)$, et le changement de variable $ u=sin(x)$ nous ramène au calcul de la primitive d'un polynôme.
$ \bullet $Si $ m$ est impair, il suffit de remplacer $ \sin(x)^n$ par $ (1-\cos(x)^2)^{\frac{n-1}2}sin(x)$, et le changement de variable $ u=cos(x)$ nous ramène au calcul de la primitive d'un polynôme.
$ \bullet $Si $ n$ et $ m$ sont pairs, une méthode générale est de linéariser. Voir pour cela la partie[*]. On peut aussi procéder par une intégration par parties, pour se ramener à $ I_{n+m,0}$ ou $ I_{0,n+m}$
- c'est-à-dire que dans l'intégration par parties on intègre $ cos(x)^nsin(x)$ et on dérive $ sin(x)^{m-1}$ si $ n>m>0$, pour se ramener à une primitive de $ cos(x)^{n+2}sin(x)^{m-2}$
- et si $ m>n>0$ on intègre $ sin(x)^mcos(x)$ et on dérive $ cos(x)^{n-1}$ pour se ramener à une primitive de $ cos(x)^{n-2}sin(x)^{m+2}$.

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C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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