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Primitives de $ G(x)=F(cos(x),sin(x))$

$ F$ désigne une fraction rationnellle à deux indéterminées.
Les discontinuités seront généralement en nombre infini, périodiques; il convient d'étudier précisément ce qu'il se passe au niveau de chaque discontinuité.
$ F$ désigne une fraction rationnelle à deux indéterminées.
On aura alors recours à la règle de Bioche (que l'on peut justifier rigoureusement, voir par exemple le livre d'analyse de Arnaudiès et Fraysse).
Proposition La règle de Bioche nous dit que :
$ \bullet $Si $ G$ est paire, ie $ G(-x)=G(x)$, on fait le changement de variable $ u=sin(x)$
$ \bullet $Si $ G$ est impaire, ie $ G(-x)=-G(x)$, on fait le changement de variable $ u=cos(x)$
$ \bullet $Si $ G$ est $ {\omega}$-périodique, c'est à dire si $ G(x)=G(x+{\omega})$, on fait le changement de variable $ u=tan(\frac{\pi x}{{\omega}})$.
$ \bullet $Si $ G$ n'est rien de tout ca, on n'aura plus d'autre choix que le changement de variable $ u=tan(x/2)$. Rappelons que dans ce cas, $ cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2}$, $ sin(x)=\frac{2u}{1+u^2}$, $ dx=\frac{2}{1+u^2}du$


C_antonini,J-F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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